Resumen de las ecuaciones de la mecánica de fluidos

Las ecuaciones (3.8), (3.31), (3.64) y (3.16), junto con las ecuaciones de estado y condiciones iniciales y de contorno apropiadas, describen el movimiento tridimensional y no estacionario de un fluido newtoniano, no homogéneo, compresible y viscoso:

$$\frac{\mbox{D}\rho}{\mbox{D}t} + \rho\vec{\nabla}\cdot\vec{v}=0.$$ (3.70)

$$\rho \frac{\mbox{D}\vec{v}}{\mbox{D}t}=-\vec{\nabla}p + 2\vec{\n... ...bla}\left[(\mu_v-\frac{2}{3}\mu)\vec{\nabla}\cdot\vec{v}\right]+ \rho\vec{f}_m,$$ (3.71)

$$\rho \frac{\mbox{D}e}{\mbox{D} t} = -p\vec{\nabla}\cdot\vec{v}+ \Phi_v + \vec{\nabla}\cdot (\kappa\vec{\nabla}T) + \dot{Q}_{r,q},$$ (3.72)

$$\rho\left(\frac{\partial Y_i}{\partial t} + \vec{v}\cdot\vec{\nabla}Y_{i}\right) = \vec{\nabla}\cdot (\rho D_{i}\vec{\nabla}Y_i) + \mathcal{W}_{i}.$$ (3.73)

Los términos $\dot{Q}_{r,q}$ y $\mathcal{W}_{i}$ deben ser modelados apropiadamente, lo que en general puede llegar a suponer una gran dificultad. En lo que sigue se supondrá que el fluido tiene un único componente, por lo que prescindiremos de las ecuaciones de conservación de las especies, y que el término $\dot{Q}_{r,q}$ es conocido en función de $\vec{x}$ y $t$, o, en todo caso, que puede expresarse en función de las variables dependientes. Si tomamos $u$, $v$, $w$, $p$ y $T$ como las variables dependientes, son necesarias las siguientes ecuaciones adicionales para cerrar el sistema:

$$\rho=\rho(p,T),$$ (3.74)

$$e=e(p,T),$$ (3.75)

$$\mu=\mu(p,T),$$ (3.76)

$$\kappa=\kappa(p,T).$$ (3.77)

Las ecuaciones (3.75) y (3.76) son las ecuaciones de estado térmica y calórica, a las que ya se hizo referencia (en particular para los casos de líquidos y gases perfectos) en la Sección 1.4.2. Las ecuaciones^3.15 (3.77) y (3.78) son necesarias (generalmente, la dependencia suele ser sólo con respecto a la temperatura, según se indicó anteriormente) salvo que pueda considerarse que $\mu$ y $\kappa$ son constantes, lo cual es aceptable en numerosas ocasiones. La fuerzas másicas suelen ser datos del problema, aunque en el caso de las fuerzas de Coriolis, por ejemplo, dependen de la velocidad del fluido. La función de disipación $\Phi_v=\tau'_{ij}\partial v_i/\partial x_j$, y por tanto es también una función de las variables dependientes.

A las ecuaciones que forman el sistema de ecuaciones (3.71) a (3.73) se les suele denominar frecuentemente, y por extensión, ecuaciones de Navier-Stokes (aunque la denominación original se refiere exclusivamente a las tres ecuaciones escalares expresadas en la ecuación (3.72)). Estas ecuaciones son de carácter muy general, aunque se han deducido adoptando algunas hipótesis restrictivas (excluyen, por ejemplo, efectos no newtonianos, de difusión de calor debidos a gradientes de concentración de especies o de difusión de masa debidos a gradientes de temperatura^3.16), y requerirían ecuaciones adicionales para describir fenómenos tales como los electromagnéticos y de radiación térmica, o la generación de calor y producción y destrucción de especies debidas a reacciones químicas, como se acaba de indicar. Desafortunadamente, la resolución de dicho sistema de ecuaciones, aun con dichas hipótesis simplificadoras, puede ser en general extraordinariamente complicada y requerir en algunos casos unos medios informáticos de cálculo no disponibles actualmente.