Forma diferencial

Utilizando el teorema de Gauss,^3.5 la ecuación (3.4) puede expresarse de la forma siguiente:

$$\int_{V}\left[\frac{\partial \rho}{\partial t} + \vec{\nabla}\cdot (\rho\vec{v})\right] V =0.$$ (3.7)

Dado que $V$ puede ser un volumen geométrico fijo cualquiera (en cada instante, cualquier volumen fijo es ocupado por un cierto volumen fluido), y teniendo en cuenta la continuidad de las magnitudes fluidas y de sus derivadas, se deduce que el integrando de la ecuación (3.7) deber ser nulo:

$$\frac{\partial \rho}{\partial t} + \vec{\nabla}\cdot (\rho\vec{v})=0,$$ (3.8)

lo que puede expresarse, teniendo en cuenta la ecuación (2.10), de la forma siguiente:

$$\frac{\partial \rho}{\partial t} + \rho\vec{\nabla}\cdot\vec{v}+ \vec{v}\cdot\vec{\nabla}\rho = 0,$$ (3.9)

$$\boxed{\frac{\mbox{D}\rho}{\mbox{D}t} + \rho\vec {\nabla}\cdot \vec {v}=0.}$$ (3.10)

La ecuación (3.8) es la denominada forma conservativa de la ecuación de conservación de la masa, obtenida a partir de la ecuación de conservación en forma integral. La ecuación (3.10) es la denominada forma no conservativa. Aunque en general ambas ecuaciones (3.8) y (3.10) pueden utilizarse indistintamente, en dinámica de fluidos computacional puede no ser equivalente emplear una u otra forma para discretizar las ecuaciones.

Cuando cualquier partícula fluida en el flujo conserva su densidad en todo instante ( D$\rho /$D$t=0$), se dice que el flujo es incompresible,^3.6 y la ecuación de conservación de la masa se reduce a

$$\vec{\nabla}\cdot\vec{v}=0,$$ (3.11)

o, en notación tensorial,

$$\frac{\partial v_j}{\partial x_j}=0.$$ (3.12)

El que un fluido sea incompresible no implica que la densidad de todas las partículas fluidas en el flujo tenga que ser la misma (considérese el caso del movimiento de un fluido incompresible estratificado, en el que D$\rho /$D$t=0$ y $\vec{\nabla}\rho\neq 0$). Frecuentemente, sin embargo, la distribución de densidad de un fluido antes de iniciarse el movimiento es uniforme, lo que hace que, si el flujo es incompresible y, por tanto, D$\rho /$D$t=0$, la distribución de densidad se mantenga uniforme en todo instante. En estos casos, la condición de flujo incompresible puede sustituirse por la condición de densidad constante, y cada uno de los tres términos del primer miembro de la ecuación (3.9) es nulo.