Condiciones iniciales y de contorno

La descripción matemática de un flujo requiere obviamente no sólo establecer las ecuaciones de conservación adecuadas sino también fijar unas condiciones iniciales (si el flujo es no estacionario) y de contorno que deben satisfacerse, respectivamente, en el instante inicial del periodo de tiempo objeto de estudio y en los límites del dominio considerado. Al imponer estas condiciones se consigue obtener soluciones particulares de entre las múltiples soluciones posibles de las ecuaciones de conservación. En ocasiones puede existir alguna incertidumbre a la hora de fijar los límites del dominio en los que deban aplicarse las condiciones de contorno, debido principalmente a que no se conocen con exactitud las condiciones del flujo en los posibles límites. En estos casos deben imponerse condiciones de contorno de forma que la solución obtenida sea la misma que la que se obtendría alejando el correspondiente contorno de la zona de interés en el flujo. La determinación de las condiciones de contorno adecuadas para cada tipo de flujo constituye un problema que puede llegar a ser complejo en algunos casos. La especificación de insuficientes condiciones de contorno puede impedir obtener una solución única, mientras que la especificación de excesivas condiciones de contorno puede dar lugar a soluciones con falta de sentido físico, particularmente en las proximidades del contorno correspondiente. En lo que sigue se comentan brevemente las condiciones de contorno más típicas en problemas fluidodinámicos.^3.17

En problemas no estacionarios, deben imponerse como condiciones iniciales las distribuciones del vector velocidad y de las variables termodinámicas. Cuando el fluido es un líquido, la distribución de velocidad que se imponga debe satisfacer la ecuación $\vec{\nabla}\cdot\vec{v}=0$. Cuando en el problema que debe resolverse las condiciones de contorno son estacionarias o periódicas, y es posible obtener una solución estacionaria o periódica,^3.18 no se necesita imponer condiciones iniciales.^3.19

Una de las condiciones de contorno más típicas es la correspondiente a un contorno en el que existe una pared impermeable. La experiencia demuestra que los fluidos no deslizan sobre una pared,^3.20 sino que satisfacen la condición de adherencia:

$$\vec{v}=\vec{v}_s;$$ (3.78)

es decir, la velocidad del fluido en contacto con la pared coincide con la de ésta. En particular, si la pared permanece inmóvil, el fluido en contacto con ella debe tener velocidad nula. Análogamente, la temperatura del fluido en contacto con la pared debe coincidir con la temperatura de ésta:

$$T=T_s.$$ (3.79)

Otro tipo de condición que es posible imponer en la superficie de una pared es la de continuidad en el flujo de calor en el sólido y en el fluido a través de la superficie, lo cual es correcto si el sólido no emite ni absorbe calor por radiación ni reacción química:

$$\vec{q}\cdot\vec{n}= -\kappa\left(\frac{\partial T}{\partial n}\r... ...{fluido} = -\kappa_s\left(\frac{\partial T}{\partial n}\right)_\mathrm{sólido},$$ (3.80)

siendo $\vec{n}$ el vector unitario normal a la pared, y $\kappa$ y $\kappa_s$ las conductividades térmicas del fluido y del sólido, respectivamente. Esta condición debe imponerse cuando se conoce el flujo de calor a través de la pared. Un ejemplo de esta situación podría darse en la refrigeración de un componente electrónico que emite un flujo de calor conocido.

Si la conductividad del sólido es muy pequeña (material muy aislante térmicamente), la pared puede considerarse adiabática e imponerse como condición de contorno en ésta

$$\left(\frac{\partial T}{\partial n}\right)_\mathrm{fluido} = 0.$$ (3.81)

En la superficie de separación de dos fluidos inmiscibles pueden imponerse condiciones de contorno análogas a las de las ecuaciones (3.79), (3.80) y (3.81). La velocidad de los dos fluidos y la temperatura debe ser la misma en la superficie de separación, y si en ésta no existen fenómenos de radiación, reacciones químicas o cambio de fase, el flujo de calor a través de la superficie debe ser el mismo en ambos fluidos. A través de la superficie de separación debe existir asimismo continuidad de la tensión (flujo de cantidad de movimiento) existente sobre dos elementos de superficie contiguos, paralelos a la superficie de separación y a ambos lados de ésta, siempre que no existan fenómenos de tensión superficial. Cuando la tensión superficial es relevante,^3.21 la diferencia entre las tensiones sobre los mencionados elementos de superficie debe ser igual a una fuerza por unidad de superficie, normal a la superficie de separación, que depende de la curvatura de ésta y de la tensión superficial correspondiente a los fluidos de que se trate.

Cuando el flujo se considera ideal, algunas de las condiciones de contorno que se acaba de describir deben ser modificadas tal y como se indica en la Sección 5.3.4.

En flujos incompresibles, en zonas de flujo entrante cabe la posibilidad de fijar un flujo de masa entrante y flujos convectivos entrantes de velocidad y temperatura, o bien fijar valores de la velocidad y la temperatura. En zonas de flujo saliente, frecuentemente se desprecian los gradientes de las distintas magnitudes en dirección perpendicular al contorno y se fija un valor de la presión igual al de la presión en el exterior del dominio.

En flujos compresibles subsónicos de fluidos ideales en los que se resuelvan ecuaciones para cinco variables dependientes, deben imponerse cuatro condiciones en contornos de flujo entrante y una en contornos de flujo saliente. Cuando el flujo es supersónico, deben imponerse cinco condiciones en contornos de flujo entrante y ninguna en contornos de flujo saliente. Si existen efectos viscosos, en principio deben imponerse cinco y cuatro condiciones, respectivamente, en contornos de flujo entrante y saliente, tanto si el flujo es subsónico como supersónico.

Para flujos con elevados números de Reynolds en cuyo análisis sea necesario retener los efectos de la viscosidad, es muy frecuente que, lejos de la zona de interés (por ejemplo, en zonas suficientemente alejadas de un cuerpo inmerso en un flujo), la solución se comporte como si el flujo estuviese descrito por las ecuaciones de Euler en lugar de por las ecuaciones de Navier-Stokes. En estos casos, en contornos situados en dichas zonas, suele dar buen resultado imponer las condiciones de contorno que corresponderían a un problema descrito por las ecuaciones de Euler.

En la Sección 6.2, después de haberse discutido sobre algunas propiedades matemáticas de las ecuaciones de conservación, se hacen comentarios adicionales sobre condiciones iniciales y de contorno.