Ecuaciones de Navier-Stokes

Introduciendo la ley de Navier-Poisson de la ecuación (3.27) en la ecuación (3.21) de conservación de la cantidad de movimiento, sustituyendo previamente en ésta la descomposición de la ecuación (3.25), se obtienen las ecuaciones de Navier-Stokes:

$$\begin{split}\rho\left(\frac{\partial v_i}{\partial t} + v_j\... ...mu)\vec{\nabla}\cdot\vec{v}\right] +\rho f_{m_{i}}. \end{split}$$ (3.30)

En notación vectorial,

$$\boxed{\rho \frac{\mbox{D}\vec {v}}{\mbox{D}t}=-\vec {\nabla}p +... ...left[(\mu_v-\frac{2}{3}\mu)\vec {\nabla}\cdot \vec {v}\right]+ \rho\vec {f}_m,}$$ (3.31)

siendo

$$( \vec{v})_{ij}= \frac{1}{2}\left(\frac{\partial v_i}{\partial x_j} + \frac{\partial v_j}{\partial x_i} \right).$$ (3.32)

Suponiendo que los coeficientes de viscosidad son uniformes, la ecuación (3.31) puede escribirse como sigue:^3.10

$$\boxed{\rho \frac{\mbox{D}\vec {v}}{\mbox{D}t}=-\vec {\nabla}p +... ...} + (\lambda + \mu)\vec {\nabla}(\vec {\nabla}\cdot \vec {v})+ \rho\vec {f}_m,}$$ (3.33)

donde $\lambda=\mu_v-\frac{2}{3}\mu$, y teniendo en cuenta la identidad vectorial

$$\nabla^2\vec{v}=\vec{\nabla}\cdot\vec{\nabla}\vec{v}= \vec{\nabla}(\vec{\nabla}\cdot\vec{v})- \vec{\nabla}\wedge(\vec{\nabla}\wedge\vec{v}),$$ (3.34)

y la definición del vector vorticidad de la Sección 2.4,

$$\vec{\omega}=\vec{\nabla}\wedge\vec{v},$$ (3.35)

se obtiene

$$\boxed{\rho \frac{\mbox{D}\vec {v}}{\mbox{D}t}=-\vec {\nabla}p -... ... + (\lambda + 2\mu)\vec {\nabla}(\vec {\nabla}\cdot \vec {v})+ \rho\vec {f}_m.}$$ (3.36)

Cuando el fluido puede considerarse incompresible, la ecuación (3.33), teniendo en cuenta la ecuación (3.11), se reduce a

$$\boxed{\rho \frac{\mbox{D}\vec {v}}{\mbox{D}t} = -\vec {\nabla} p + \mu\nabla^2\vec {v} + \rho\vec {f}_m,}$$ (3.37)

o en notación tensorial,

$$\rho\left(\frac{\partial v_i}{\partial t} + v_j \frac{\partial v... ...al p}{\partial x_i} + \mu\frac{\partial^2 v_i}{\partial x_j^2} +\rho f_{m_{i}}.$$ (3.38)

Con la misma hipótesis de flujo incompresible, la ecuación (3.36) queda como sigue:

$$\boxed{\rho \frac{\mbox{D}\vec {v}}{\mbox{D}t}=-\vec {\nabla}p - \mu\vec {\nabla}\wedge\vec {\omega} + \rho\vec {f}_m.}$$ (3.39)

Obsérvese que en la ecuación (3.39) desaparece el término viscoso cuando el flujo es irrotacional, con lo que la ecuación se reduce a la correspondiente a un fluido ideal (sin viscosidad).^3.11 Es decir, un fluido viscoso incompresible se comporta como un fluido ideal en zonas del campo fluido en las que $\vec{\nabla}\wedge\vec{v}=0$.