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Resumen de algunos conceptos y relaciones termodinámicas

El primer principio de la termodinámica en un proceso reversible (proceso quasi-estático sin fricción, en el que el sistema se mantiene en todo momento en equilibrio con el exterior) puede expresarse de la forma

d$\displaystyle e=$d$\displaystyle Q - p $d$\displaystyle \left(1/\rho\right),$ (1.10)

donde $ e$ es la energía interna específica (energía interna por unidad de masa) y $ Q$ el calor añadido por unidad de masa.

En sistemas de un único componente, el estado termodinámico queda determinado con la especificación de dos variables de estado independientes. Así, por ejemplo, conocidas la temperatura y la presión, pueden determinarse la densidad y la energía interna específica mediante las dos relaciones siguientes, denominadas ecuaciones de estado:1.11

$\displaystyle \rho=\rho(T,p),$ (1.11)

$\displaystyle e=e(T,p).$ (1.12)

La entalpía específica se define como

$\displaystyle h=e+\frac{p}{\rho},$ (1.13)

que, como se verá más adelante, es muy útil en el estudio de flujos compresibles.

En sistemas de un componente, los calores específicos a presión constante y a volumen constante se definen como sigue:

$\displaystyle c_{p}=\left(\frac{\partial h}{\partial T}\right)_{p},$ (1.14)

$\displaystyle c_{v}=\left(\frac{\partial e}{\partial T}\right)_{v}.$ (1.15)

Obsérvese que $ c_{p}$ y $ c_{v}$ son también variables de estado. La relación de calores específicos es

$\displaystyle \gamma=\frac{c_{p}}{c_{v}}.$ (1.16)

En procesos reversibles,

$\displaystyle T $d$\displaystyle s=$d$\displaystyle Q,$ (1.17)

siendo $ s$ la entropía por unidad de masa. A partir de las ecuaciones (1.10) y (1.17) se deduce

$\displaystyle T $d$\displaystyle s=$d$\displaystyle e + p $d$\displaystyle (1/\rho),$ (1.18)

y, teniendo en cuenta la ecuación (1.13),

$\displaystyle T $d$\displaystyle s=$d$\displaystyle h - (1/\rho) $d$\displaystyle p.$ (1.19)

A pesar de que las ecuaciones (1.10) y (1.17) son aplicables sólo para procesos reversibles, las ecuaciones (1.18) y (1.19), que expresan relaciones en las que intervienen exclusivamente variables de estado, son también válidas en procesos irreversibles.

En gases perfectos, se satisface la siguiente ecuación de estado:

$\displaystyle \frac{p}{\rho}=RT,$ (1.20)

donde $ T$ es la temperatura absoluta y $ R$ la constante del gas. La energía interna es independiente de la distancia entre moléculas y, por tanto, de la densidad:1.12

$\displaystyle e=e(T).$ (1.21)

Teniendo en cuenta las ecuaciones (1.13), (1.20) y (1.21), resulta

$\displaystyle h=h(T);$ (1.22)

es decir, la entalpía es también sólo función de la temperatura. De las ecuaciones (1.14) y (1.15), teniendo en cuenta las ecuaciones (1.21) y (1.22), se deduce que $ c_{p}$ y $ c_{v}$ son asimismo sólo funciones de la temperatura, y que

d$\displaystyle e=c_{v} $d$\displaystyle T $ (1.23)

d$\displaystyle h=c_{p} $d$\displaystyle T.$ (1.24)

Es inmediato deducir que $ R=c_{p}-c_{v}$. En gases caloríficamente perfectos, los calores específicos $ c_{p}$ y $ c_{v}$ se suponen constantes (lo que puede ser aceptable en ocasiones, en determinados rangos de temperatura), con lo que resulta $ e=c_{v}T$ y $ h=c_{p}T$.

En líquidos caloríficamente perfectos,

$\displaystyle \rho=$constante$\displaystyle ,$ (1.25)

$\displaystyle e=cT,$ (1.26)

siendo $ c$ el calor específico, que se supone constante. De la ecuación (1.18) se deduce que la entropía sólo depende de la temperatura, y de las ecuaciones (1.14) y (1.15),

$\displaystyle c_v=c_p=c,$ (1.27)

resultando, por tanto, $ \gamma=1$. La entalpía es función de la temperatura y la presión:

$\displaystyle h=cT+\frac{p}{\rho}.$ (1.28)

La variación que experimenta la densidad de un líquido real con la presión y la temperatura puede expresarse como sigue:

$\displaystyle \frac{\rho-\rho_{0}}{\rho_{0}}=\frac{1}{\varepsilon} (p-p_{0})-\beta(T-T_{0}),$ (1.29)

siendo $ \rho_{0}$, $ p_{0}$ y $ T_{0}$ valores de referencia, $ \beta$ el coeficiente de dilatación térmica, y $ \varepsilon$ el módulo de elasticidad del líquido (su inverso es el módulo de compresibilidad isotermo, que frecuentemente también se denota con $ \beta$).


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© 2000, 2001, Julio Hernández Rodríguez, ETSII, Universidad Nacional de Educación a Distancia, Madrid