Ecuación de conservación de las especies

Consideremos un fluido constituido por $N$ especies químicas. La variación en el tiempo de la masa $M_i$ de la especie $i$ en un volumen fluido $V_{f}$ podrá deberse al transporte por difusión de masa de dicha especie a través de la superficie que limita el volumen fluido, o a la existencia de reacciones químicas:

$$\frac{\mbox{d}{M}_{i}}{\mbox{d}t}=-\int_S \vec{f}_{i}\cdot\vec{n} \mbox{d}S+ \int_{V} \mathcal{W}_{i} \mbox{d}V,$$ (3.13)

siendo $\vec{f}_i$ el vector flujo de masa de la especie $i$ por unidad de área que se introdujo en la ecuación (1.36) y definido, por ejemplo, en la ecuación (1.40), y $\mathcal{W}_i$ el ritmo de producción de masa de la especie $i$ por unidad de volumen debida a reacciones químicas.

Haciendo $\mathcal{F}=\rho Y_i$ en la ecuación (3.3), siendo $Y_i= Y_i(\vec{x},t)$ la fracción másica de la especie $i$, y teniendo en cuenta la ecuación (3.13), se obtiene la siguiente ecuación de conservación de la fracción másica de la especie $i$:

$$\int_{V}\frac{\partial (\rho Y_i)}{\partial t} V + \int_{S} \rho Y_i \vec{v}\cdot\vec{n} S=-\int_S \vec{f}_{i}\cdot\vec{n} S+ \int_{V} \mathcal{W}_{i} V.$$ (3.14)

Dado que $\Sigma_N Y_i=1$, $\Sigma_N \vec{f}_i=0$ y $\Sigma_N \mathcal{W}_i=0$, al sumar las $N$ expresiones correspondientes a la ecuación (3.14) para las $N$ especies, se obtiene la ecuación (3.4). Sólo serán necesarias, por tanto, $N-1$ ecuaciones de conservación de la masa de otras tantas especies, además de la ecuación de conservación de la masa total,^3.7 para obtener las distribuciones de las $N$ especies.

Análogamente a como se dedujo la ecuación (3.8) a partir de la ecuación (3.4), de la ecuación (3.14) se obtiene

$$\frac{\partial (\rho Y_i)}{\partial t} + \vec{\nabla}\cdot (\rho Y_{i}\vec{v}) = -\vec{\nabla}\cdot\vec{f}_i + \mathcal{W}_{i}$$ (3.15)

(ecuación en forma conservativa). Teniendo en cuenta la ecuación (3.8), y suponiendo que la difusión de masa puede describirse mediante la ley de Fick expresada en la ecuación (1.40), resulta

$$\boxed{\rho\left(\frac{\partial Y_i}{\partial t} + \vec {v}\cdot ... ...{i}\right) = \vec {\nabla}\cdot (\rho D_{i}\vec {\nabla}Y_i) + \mathcal{W}_{i}}$$ (3.16)

(ecuación en forma no conservativa), siendo $D_{i}$ el coeficiente de difusión de la especie $i$.