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Ecuación de conservación de la energía interna

La ecuación de conservación de la energía interna se obtiene restando la ecuación (3.56) de conservación de la energía mecánica, de la ecuación (3.59) de conservación de la energía total:

$\displaystyle \rho \frac{\mbox{D}e}{\mbox{D} t} = \vec{\nabla}\cdot (\vec{v}\c...
...v}\cdot (\vec{\nabla}\cdot\vec{\tau}) -\vec{\nabla}\cdot\vec{q}+ \dot{Q}_{r,q}.$ (3.60)

El primer sumando del segundo miembro es el trabajo por unidad de tiempo que desarrollan las fuerzas de superficie al actuar sobre la partícula fluida, y el segundo, el trabajo por unidad de tiempo que ejercerían dichas fuerzas sobre la partícula fluida si ésta se moviese como un sólido rígido. La diferencia entre ambos es, por tanto, el trabajo por unidad de tiempo que desarrollan las fuerzas de superficie al deformar la partícula fluida. Es fácil demostrar que dicha potencia de deformación puede expresarse de la forma siguiente:

$\displaystyle \vec{\nabla}\cdot (\vec{v}\cdot\vec{\tau}) - \vec{v}\cdot (\vec{\nabla}\cdot\vec{\tau}) = -p\vec{\nabla}\cdot\vec{v}+ \Phi_v.$ (3.61)

En esta expresión, $ -p\vec{\nabla}\cdot\vec{v}$ es el trabajo por unidad de tiempo que realizan las fuerzas de presión al comprimir la partícula fluida, y es obviamente nulo cuando el fluido se comporta como incompresible. El término $ \Phi_v$ (función de disipación de Rayleigh) es la potencia que desarrollan las fuerzas debidas a la viscosidad al deformar la partícula fluida, y puede demostrarse que es siempre positivo:

$\displaystyle \Phi_v=\vec{\tau}'\cdot\vec{\nabla}\vec{v}$ (3.62)

(el producto escalar del tensor de tensiones debidas a la viscosidad por el tensor gradiente del vector velocidad). Sustituyendo la ecuación (3.61) en la ecuación (3.60), se obtiene la siguiente expresión para la ecuación de conservación de la energía interna:

$\displaystyle \boxed{\rho \frac{\mbox{D}e}{\mbox{D} t} = -p\vec {\nabla}\cdot \vec {v} + \Phi_v - \vec {\nabla}\cdot \vec {q} + \dot{Q}_{r,q}.}$ (3.63)

La variación de energía interna de una partícula fluida se debe, por tanto, al trabajo que realizan las fuerzas de presión al comprimirla, al trabajo de las fuerzas debidas a la viscosidad al deformarla, y al calor que recibe la partícula fluida por conducción, radiación y reacción química. Introduciendo la ley de Fourier para describir la conducción de calor, la ecuación (3.63) queda como sigue:

$\displaystyle \boxed{\rho \frac{\mbox{D}e}{\mbox{D} t} = -p\vec {\nabla}\cdot \vec {v} + \Phi_v + \vec {\nabla}\cdot (\kappa\vec {\nabla}T) + \dot{Q}_{r,q}.}$ (3.64)


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© 2000, 2001, Julio Hernández Rodríguez, ETSII, Universidad Nacional de Educación a Distancia, Madrid