Análisis del movimiento relativo en el entorno de un punto

En la Sección 1.1.1 se dijo que las tensiones cortantes en el seno de un fluido dan lugar a deformaciones continuas, y que las leyes constitutivas de los fluidos permiten precisamente definir, análogamente a como se define en sólidos la relación entre tensiones y deformaciones, la relación entre tensiones cortantes y velocidades de deformación. Por otra parte, en la Sección 1.5.4 se indicó que, debido al carácter vectorial de la cantidad de movimiento, la relación entre el tensor de tensiones $\vec{\tau}$ y las derivadas de las componentes del vector velocidad requería la discusión previa de algunas propiedades cinemáticas del campo fluido, que no fueron necesarias para introducir las leyes de Fourier y de Fick, ni la ley de Newton de la viscosidad en un flujo con cortadura simple como el esquematizado en la Figura 1.1. Se trata de analizar en esta sección cómo es el movimiento de un fluido en el entorno de un punto, con objeto de describir la deformación que experimenta un elemento de fluido en el tiempo.

Consideremos, en un mismo instante $t$, dos puntos en el campo fluido separados una distancia d$\vec{x}$: el punto de referencia $\vec{x}_0$ y $\vec{x}_0 +$   d$\vec{x}$. La diferencia de velocidad entre ellos vendrá dada por

$$\vec{v}=\vec{\nabla}\vec{v}\cdot \vec{x},$$ (2.15)

o, en notación de subíndices,

$$v_i=\frac{\partial v_i}{\partial x_j} x_j,$$ (2.16)

donde $\vec{\nabla}\vec{v}$ es el tensor gradiente de velocidad, para el que trataremos en lo que sigue de encontrar un sentido físico. Para ello se va a considerar la siguiente descomposición del tensor en suma de otros dos:

$$\frac{\partial v_i}{\partial x_j}=\frac{1}{2}\left(\frac{\partial... ...{\partial x_j} - \frac{\partial v_j}{\partial x_i}\right)= e_{ij} + \zeta_{ij}.$$ (2.17)

Obsérvese que $e_{ij}$ es la componente $ij$ de un tensor simétrico, denominado tensor de velocidades de deformación, y $\zeta_{ij}$ la de un tensor antisimétrico, denominado tensor de rotación.

Es fácil demostrar^2.8que el tensor antisimétrico $\vec{\zeta}$ da lugar a una velocidad relativa

$$\vec{v}_r=\vec{\zeta}\cdot \vec{x}=\vec{\Omega}\wedge \vec{x},$$ (2.18)

siendo $\vec{\Omega}= \frac{1}{2}\vec{\nabla}\wedge\vec{v}$ un vector asociado al tensor $\vec{\zeta}$, tal que

$$\vec{\zeta}=\begin{bmatrix}0 & -\Omega_3 & \Omega_2 \Omega_3 & 0 & -\Omega_1 -\Omega_2 & \Omega_1 & 0 \end{bmatrix}.$$ (2.19)

Por tanto, la contribución expresada por la ecuación (2.18) a la velocidad relativa entre los dos puntos considerados es debida a una rotación como sólido rígido, con velocidad angular $\vec{\Omega}$, del elemento fluido. A $\vec{\omega}=2\vec{\Omega}=\vec{\nabla}\wedge\vec{v}$ se le denomina vorticidad.

Puede también demostrarse^2.9 que cada una de las componentes de la diagonal principal del tensor de velocidades de deformación ($e_{ii}$) representa el ritmo de deformación longitudinal de un elemento de línea fluida paralelo a la dirección del eje de coordenadas correspondiente a $i$, relativo a la longitud del elemento (o velocidad de dilatación lineal unitaria); por ejemplo,

$$e_{11}=\frac{1}{\mbox{d}x_{1}}\frac{\mbox{d}}{\mbox{d}t}(\mbox{d}x_{1}).$$ (2.20)

Los elementos que están fuera de la diagonal principal ($e_{ij}$, $i\neq j$) pueden interpretarse^2.10 como la mitad del ritmo de reducción del ángulo que forman dos líneas fluidas inicialmente paralelas a los ejes correspondientes a $i$ y $j$ (o velocidad de dilatación angular).

Es también muy interesante comprobar que

$$\begin{split}\vec{\nabla}\cdot\vec{v}= e_{ii} & = \frac{1}{\m... ...1}{\mbox{d}V}\frac{\mbox{d}}{\mbox{d}t}(\mbox{d}V), \end{split}$$ (2.21)

es decir, que la divergencia del vector velocidad representa el ritmo de dilatación volumétrica de una partícula fluida relativo al volumen de ésta (o velocidad de dilatación cúbica unitaria).

A las contribuciones al movimiento en el entorno de un punto que se acaban de describir, asociadas a la rotación del elemento fluido como un sólido rígido y a su deformación, debe añadirse la debida a la traslación uniforme del elemento con la velocidad local del fluido $\vec{v}(\vec{x}_0)$.