Forma diferencial

Utilizando el teorema de Gauss para transformar las integrales de superficie en integrales de volumen, la ecuación (3.17) puede expresarse, en notación de subíndices, de la forma siguiente:

$$\int_{V}\left[\frac{\partial (\rho v_i)}{\partial t} + \frac{\par... ...artial x_j} - \frac{\partial \tau_{ij}}{\partial x_j} - \rho f_{m_{i}}\right] V =0.$$ (3.18)

Dado que cualquier volumen geométrico fijo es ocupado en cada instante por un cierto volumen fluido, la ecuación (3.18) es aplicable a cualquier volumen fijo $V$. Teniendo en cuenta esto y la continuidad de las magnitudes fluidas y sus derivadas, se deduce que el integrando de la ecuación (3.18) debe ser nulo:

$$\frac{\partial (\rho v_i)}{\partial t} + \frac{\partial(\rho v_i v_j)}{\partial x_j} - \frac{\partial \tau_{ij}}{\partial x_j} - \rho f_{m_{i}}=0$$ (3.19)

(ecuación en forma conservativa). Teniendo en cuenta la ecuación (3.8), que en notación de subíndices se expresa

$$\frac{\partial\rho}{\partial t} + \frac{\partial(\rho v_j)}{\partial x_j}=0,$$ (3.20)

la ecuación (3.19) puede escribirse de la siguiente forma no conservativa:

$$\rho\left(\frac{\partial v_i}{\partial t} + v_j \frac{\partial v... ...\partial x_j}\right) = \frac{\partial \tau_{ij}}{\partial x_j} +\rho f_{m_{i}},$$ (3.21)

o, en notación vectorial,

$$\rho \frac{\mbox{D}\vec{v}}{\mbox{D}t}=\vec{\nabla}\cdot\vec{\tau}+ \rho\vec{f}_m.$$ (3.22)

La ecuación (3.22) expresa que la fuerza de inercia por unidad de volumen (producto de la densidad por la aceleración) que experimenta una partícula fluida es igual a la resultante de las fuerzas de superficie y de volumen que actúan por unidad de volumen sobre la partícula fluida. Introduciendo la ecuación (1.9) en la ecuación (3.22), resulta

$$\boxed{\rho \frac{\mbox{D}\vec {v}}{\mbox{D}t}=-\vec {\nabla}p + \vec {\nabla}\cdot \vec {\tau'} + \rho\vec {f}_m.}$$ (3.23)

La ecuación (3.23) puede expresarse en la forma conservativa de la ecuación (3.19):

$$\frac{\partial}{\partial t} (\rho\vec{v}) + \vec{\nabla}\cdot (\rho\vec{v}\vec{v}+ p\vec{I}- \vec{\tau'})= \rho\vec{f}_m,$$ (3.24)

donde $\vec{I}$ es el tensor identidad y $\vec{v}\vec{v}$ un tensor de segundo orden.^3.8