Ecuación de la vorticidad

La ecuación de conservación de la cantidad de movimiento puede expresarse de otra forma alternativa más introduciendo la identidad^3.12

$$\vec{v}\cdot\vec{\nabla}\vec{v}=\vec{\nabla}(\vec{v}^2/2) - \vec{v}\wedge(\vec{\nabla}\wedge\vec{v})$$ (3.40)

y $\vec{\omega}=\vec{\nabla}\wedge\vec{v}$ en el primer término de la ecuación (3.23). Dividiendo por $\rho$ la expresión resultante, se obtiene

$$\frac{\partial\vec{v}}{\partial t} - \vec{v}\wedge\vec{\omega}=-\... ...\vec{\nabla}(v^2/2) + \frac{1}{\rho} \vec{\nabla}\cdot\vec{\tau}' + \vec{f}_m.$$ (3.41)

Tomando el rotacional de la ecuación anterior se obtiene la ecuación de Helmholtz:

$$\begin{split}\frac{\partial\vec{\omega}}{\partial t} + \vec{v... ...ot\vec{\tau}'\right) + \vec{\nabla}\wedge\vec{f}_m. \end{split}$$ (3.42)

Si el flujo es incompresible ( $\vec{\nabla}\cdot\vec{v}=0$) y la viscosidad cinemática uniforme, teniendo en cuenta la ley de Navier-Poisson de la ecuación (3.27), el penúltimo término de la ecuación (3.42) queda de la forma siguiente:

$$\vec{\nabla}\wedge\left(\frac{1}{\rho} \vec{\nabla}\cdot\vec{\tau}'\right) =\nu \vec{\nabla}\wedge\nabla^2\vec{v}.$$ (3.43)

La condición $\vec{\nabla}\cdot\vec{v}=0$ también permite simplificar la identidad vectorial de la ecuación (3.34), obteniéndose

$$\nabla^2\vec{v}= -\vec{\nabla}\wedge\vec{\omega}.$$ (3.44)

Introduciendo este resultado en la ecuación (3.43), y ésta a su vez en la ecuación (3.42), y utilizando las condiciones de que el fluido sea de densidad uniforme y de que $\vec{f}_m$ derive de una función potencial, la ecuación (3.42) queda de la forma siguiente:

$$\begin{split}\frac{\partial\vec{\omega}}{\partial t} + \vec{v... ...\vec{\nabla}\wedge(\vec{\nabla}\wedge\vec{\omega}). \end{split}$$ (3.45)

La ecuación (3.34) aplicada al vector $\vec{\omega}$,

$$\nabla^2\vec{\omega}= \vec{\nabla}(\vec{\nabla}\cdot\vec{\omega})- \vec{\nabla}\wedge(\vec{\nabla}\wedge\vec{\omega}),$$ (3.46)

teniendo en cuenta que

$$\vec{\nabla}\cdot\vec{\omega}= \vec{\nabla}\cdot (\vec{\nabla}\wedge\vec{v})=0$$ (3.47)

al ser el operador vectorial $\vec{\nabla}$ ortogonal a $\vec{\nabla}\wedge\vec{v}$, se reduce a

$$\nabla^2\vec{\omega}=- \vec{\nabla}\wedge(\vec{\nabla}\wedge\vec{\omega}).$$ (3.48)

Sustituyendo esta última ecuación en el último término de la ecuación (3.45), ésta queda finalmente de la forma siguiente:^3.13

$$\begin{split}\frac{\partial\vec{\omega}}{\partial t} + \vec{v... ...\cdot\vec{\nabla}\vec{v}+ \nu \nabla^2\vec{\omega}, \end{split}$$ (3.49)

o bien,

$$\begin{split}\boxed{\frac{\mbox{D}\vec {\omega}}{\mbox{D} t}=... ... \vec {\nabla}\vec {v} + \nu \nabla^2\vec {\omega}.}\end{split}$$ (3.50)

Obsérvese que, dado que $\vec{\omega}=\vec{\nabla}\wedge\vec{v}$, la única variable dependiente en la ecuación (3.49) es $\vec{v}$, no apareciendo en ella el término correspondiente al término de presión que aparecía en la ecuación (3.42).

Es obvio que en un flujo bidimensional $\vec{\omega}\cdot\vec{\nabla}\vec{v}=0$, con lo que la ecuación (3.50) se reduce a

$$\begin{split}\frac{\mbox{D}\vec{\omega}}{\mbox{D} t}=\nu \nabla^2\vec{\omega}. \end{split}$$ (3.51)

En el flujo de un fluido sin viscosidad ($\nu=0$),

$$\begin{split}\frac{\mbox{D}\vec{\omega}}{\mbox{D} t}=\vec{\omega}\cdot\vec{\nabla}\vec{v}. \end{split}$$ (3.52)