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Ecuación de la vorticidad
La ecuación de conservación de la cantidad de movimiento puede
expresarse de otra forma alternativa más introduciendo la
identidad3.12
![$\displaystyle \vec{v}\cdot\vec{\nabla}\vec{v}=\vec{\nabla}(\vec{v}^2/2) - \vec{v}\wedge(\vec{\nabla}\wedge\vec{v})$](img321.gif) |
(3.40) |
y
en el primer término de
la ecuación (3.23). Dividiendo por
la expresión
resultante, se obtiene
![$\displaystyle \frac{\partial\vec{v}}{\partial t} - \vec{v}\wedge\vec{\omega}=-\...
...\vec{\nabla}(v^2/2) + \frac{1}{\rho} \vec{\nabla}\cdot\vec{\tau}' + \vec{f}_m.$](img324.gif) |
(3.41) |
Tomando el rotacional de la ecuación anterior se obtiene la
ecuación de Helmholtz:
![\begin{displaymath}\begin{split}\frac{\partial\vec{\omega}}{\partial t} + \vec{v...
...ot\vec{\tau}'\right) + \vec{\nabla}\wedge\vec{f}_m. \end{split}\end{displaymath}](img325.gif) |
(3.42) |
Si el flujo es incompresible
(
) y la viscosidad cinemática
uniforme, teniendo en cuenta la ley de Navier-Poisson de la
ecuación (3.27), el penúltimo término de la ecuación
(3.42) queda de la forma siguiente:
![$\displaystyle \vec{\nabla}\wedge\left(\frac{1}{\rho} \vec{\nabla}\cdot\vec{\tau}'\right) =\nu \vec{\nabla}\wedge\nabla^2\vec{v}.$](img326.gif) |
(3.43) |
La condición
también permite
simplificar la identidad vectorial de la ecuación
(3.34), obteniéndose
![$\displaystyle \nabla^2\vec{v}= -\vec{\nabla}\wedge\vec{\omega}.$](img327.gif) |
(3.44) |
Introduciendo este resultado en la ecuación (3.43), y ésta
a su vez en la ecuación (3.42), y utilizando las
condiciones de que el fluido sea de densidad uniforme y de que
derive de una función potencial, la ecuación
(3.42) queda de la forma siguiente:
![\begin{displaymath}\begin{split}\frac{\partial\vec{\omega}}{\partial t} + \vec{v...
...\vec{\nabla}\wedge(\vec{\nabla}\wedge\vec{\omega}). \end{split}\end{displaymath}](img329.gif) |
(3.45) |
La ecuación (3.34) aplicada al vector
,
![$\displaystyle \nabla^2\vec{\omega}= \vec{\nabla}(\vec{\nabla}\cdot\vec{\omega})- \vec{\nabla}\wedge(\vec{\nabla}\wedge\vec{\omega}),$](img331.gif) |
(3.46) |
teniendo en cuenta que
![$\displaystyle \vec{\nabla}\cdot\vec{\omega}= \vec{\nabla}\cdot (\vec{\nabla}\wedge\vec{v})=0$](img332.gif) |
(3.47) |
al ser el operador vectorial
ortogonal a
, se reduce a
![$\displaystyle \nabla^2\vec{\omega}=- \vec{\nabla}\wedge(\vec{\nabla}\wedge\vec{\omega}).$](img334.gif) |
(3.48) |
Sustituyendo esta última ecuación en el último término de la
ecuación (3.45), ésta queda finalmente de la forma
siguiente:3.13
![\begin{displaymath}\begin{split}\frac{\partial\vec{\omega}}{\partial t} + \vec{v...
...\cdot\vec{\nabla}\vec{v}+ \nu \nabla^2\vec{\omega}, \end{split}\end{displaymath}](img335.gif) |
(3.49) |
o bien,
![\begin{displaymath}\begin{split}\boxed{\frac{\mbox{D}\vec {\omega}}{\mbox{D} t}=...
... \vec {\nabla}\vec {v} + \nu \nabla^2\vec {\omega}.}\end{split}\end{displaymath}](img336.gif) |
(3.50) |
Obsérvese que, dado que
,
la única variable dependiente en la ecuación (3.49) es
, no apareciendo en ella el término correspondiente al
término de presión que aparecía en la ecuación (3.42).
Es obvio que en un flujo bidimensional
, con lo que la
ecuación (3.50) se reduce a
![\begin{displaymath}\begin{split}\frac{\mbox{D}\vec{\omega}}{\mbox{D} t}=\nu \nabla^2\vec{\omega}. \end{split}\end{displaymath}](img338.gif) |
(3.51) |
En el flujo de un fluido sin viscosidad (
),
![\begin{displaymath}\begin{split}\frac{\mbox{D}\vec{\omega}}{\mbox{D} t}=\vec{\omega}\cdot\vec{\nabla}\vec{v}. \end{split}\end{displaymath}](img340.gif) |
(3.52) |
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© 2000, 2001, Julio Hernández Rodríguez, ETSII, Universidad Nacional de Educación a Distancia, Madrid