Ley de Navier-Poisson

En la Sección 1.5.4 se introdujo la ley de la ecuación (1.44) para el flujo con cortadura simple de la Figura 1.1, y se comentó que la relación entre el tensor $\vec{\tau}$ y las derivadas del vector velocidad, análoga a las establecidas por las leyes de Fourier y Fick (con la salvedad de que en este caso la magnitud que se transporta es vectorial), se introduciría después de discutir algunos conceptos cinemáticos. Esto es lo que se va a hacer a continuación, una vez analizado el movimiento relativo en el entorno de un punto en la Sección 2.4.

En la Sección 1.3.2 se introdujo la siguiente descomposición del tensor de tensiones:

$$\tau_{ij}=-p\delta_{ij} + \tau'_{ij}.$$ (3.25)

Si el fluido está en reposo, las componentes del tensor de tensiones debidas a la viscosidad, $\tau'_{ij}$, son nulas, y el estado tensional queda definido por la presión. Las tensiones $\tau'_{ij}$ que aparecen en fluidos en movimiento están asociadas a la desviación respecto del estado de equilibrio debida a dicho movimiento. La ley experimental de Navier-Poisson, aplicable a fluidos newtonianos, relaciona las tensiones debidas a la viscosidad $\tau'_{ij}$ con las componentes $e_{ij}$ del tensor de velocidades de deformación definido en la ecuación (2.17), estableciendo una proporcionalidad entre ellas:

$$\tau'_{ij}=\mathcal{A}_{ijkl}\frac{1}{2}\left(\frac{\partial v_k}{\partial x_l} + \frac{\partial v_l}{\partial x_k}\right),$$ (3.26)

siendo $\mathcal{A}_{ijkl}$ un tensor de cuarto orden (81 términos). Dado que los fluidos newtonianos son isótropos, la ecuación (3.26) en realidad se simplifica y queda de la forma

$$\tau'_{ij}=\mu\left(\frac{\partial v_i}{\partial x_j} + \frac{\pa... ...t) + (\mu_v - {\textstyle\frac{2}{3}}\mu)\vec{\nabla}\cdot\vec{v} \delta_{ij},$$ (3.27)

siendo $\mu$ el coeficiente de viscosidad (viscosidad dinámica) ya introducido en la Sección 1.5.4, y $\mu_v$ un segundo coeficiente de viscosidad que sólo es relevante en problemas muy particulares. Obsérvese que el último término de esta ecuación se anula cuando el fluido se comporta como incompresible (al ser en este caso $\vec{\nabla}\cdot\vec{v}=0$), y que la suma de los elementos de la diagonal principal del tensor de tensiones debidas a la viscosidad es

$$\tau'_{ii}=3\mu_v\vec{\nabla}\cdot\vec{v}.$$ (3.28)

Es posible definir la ``presión mecánica'' en un punto como la media (con signo opuesto) de las tres tensiones de la diagonal principal del tensor de tensiones en dicho punto:

$$p_m = -\frac{\tau_{11} + \tau_{22} + \tau_{33}}{3} = p -\mu_v\vec{\nabla}\cdot\vec{v}.$$ (3.29)

Obsérvese que la ecuación anterior establece una relación entre la presión mecánica y la presión termodinámica, que coinciden si el flujo es incompresible ( $\vec{\nabla}\cdot\vec{v}=0$) o el fluido es un gas monoatómico ($\mu_v=0$).^3.9 El efecto de $\mu_v$ puede ser importante en el estudio de la estructura de ondas de choque, por ejemplo, pero en general suele ser despreciable incluso para gases poliatómicos, y puede suponerse también para éstos $\mu_v=0$.