Fluidos incompresibles

En flujos de fluidos incompresibles la distribución de velocidad es solenoidal ( $\vec{\nabla}\cdot\vec{v}=0$), por lo que son aplicables los comentarios realizados en la Sección 5.2.1.

En realidad, esta sección podría haberse incluido en la Sección 5.4, ya que la justificación^5.10 de la aproximación que supone despreciar los efectos de compresibilidad no es trivial, y requiere analizar con detalle las ecuaciones del movimiento. En el texto de Batchelor (1967) (p. 167 y siguientes) se examinan las condiciones bajo las cuales es aceptable la simplificación que supone considerar el fluido como incompresible. En esta sección nos limitaremos a aceptar que es posible aplicar la condición de que D$\rho /$D$t=0$.

Es importante destacar que en flujos de fluidos incompresibles la presión es una variable dependiente que no puede expresarse, como ocurre en el caso de flujos compresibles, en función de otras variables de estado. Como ya se indicó en la sección de introducción de este capítulo y en el Capítulo 4, si la viscosidad no depende de la temperatura las ecuaciones de conservación de la masa, que con la condición D$\rho /$   D$t=0$ se reduce a

$$\vec{\nabla}\cdot\vec{v}=0,$$ (5.38)

y de cantidad de movimiento,

$$\rho \frac{\mbox{D}\vec{v}}{\mbox{D}t} = -\vec{\nabla}p + \mu\nabla^2\vec{v}+ \rho\vec{f}_m,$$ (5.39)

quedan desacopladas de la ecuación de conservación de la energía, y pueden ser resueltas independientemente de ésta. Las variables dependientes que intervienen en el problema mecánico son exclusivamente las tres componentes de la velocidad y la presión. Dado que la presión sólo interviene en la ecuación (5.39), obsérvese que es posible restar una constante a la presión en dicha ecuación sin que ello afecte a la solución:

$$\rho \frac{\mbox{D}\vec{v}}{\mbox{D}t} = -\vec{\nabla}(p-p_a) + \mu\nabla^2\vec{v}+ \rho\vec{f}_m,$$ (5.40)

Cuando $p_a$ es la presión atmosférica, a la variable $p-p_a$ se la denomina presión manométrica. Es frecuente en este tipo de flujos resolver las ecuaciones utilizando la presión manométrica como variable dependiente.

Si el fluido, además de incompresible, es de densidad uniforme, la ecuación (5.39) puede ponerse de la forma siguiente:

$$\frac{\mbox{D}\vec{v}}{\mbox{D}t} = -\vec{\nabla}\left(\frac{p}{\rho}\right) + \nu\nabla^2\vec{v}+ \vec{f}_m,$$ (5.41)

y si las fuerzas másicas derivan de un potencial $U$,

$$\frac{\mbox{D}\vec{v}}{\mbox{D}t} = -\vec{\nabla}\left(\frac{p + \rho U}{\rho}\right) + \nu\nabla^2\vec{v}.$$ (5.42)

Obsérvese que puede definirse una nueva variable, $p + \rho U$, denominada habitualmente presión reducida, para la que se obtendría una solución idéntica a la que se hallaría para $p$ en ausencia de fuerzas másicas. Una vez determinada la distribución de presión reducida, y conocido el potencial de fuerzas másicas, es posible determinar la distribución de presión.

La ecuación (3.64) de conservación de la energía queda de la forma

$$\rho \frac{\mbox{D}e}{\mbox{D} t} = \Phi_v + \vec{\nabla}\cdot (\kappa\vec{\nabla}T) + \dot{Q}_{r,q}.$$ (5.43)

Esta ecuación, utilizando como dato para su resolución la distribución de velocidad determinada a partir exclusivamente de las ecuaciones mecánicas, permite obtener la distribución de temperatura en el fluido. Es muy frecuente que el término $\Phi_v$ de disipación viscosa sea muy pequeño en flujos de fluidos que se comportan como incompresibles, salvo en algunos casos de líquidos muy viscosos que se muevan a alta velocidad en conductos muy pequeños, por lo que la ecuación (5.43) suele simplificarse, quedando

$$\rho \frac{\mbox{D}e}{\mbox{D} t} = \vec{\nabla}\cdot (\kappa\vec{\nabla}T) + \dot{Q}_{r,q}.$$ (5.44)