Análisis dimensional y semejanza física

Considérese un flujo de un gas perfecto^4.1 descrito por las ecuaciones (3.8), (3.30) y (3.69) (introduciendo en esta última la ley de Fourier), con unas condiciones iniciales y de contorno determinadas:

$$\frac{\partial \rho}{\partial t} + \vec{\nabla}\cdot (\rho\vec{v})=0,$$ (4.1)

$$\begin{split}\rho\left(\frac{\partial v_i}{\partial t} + v_j\... ...\vec{\nabla}\cdot\vec{v}\right] +\rho g\delta_{i3}, \end{split}$$ (4.2)

$$\rho c_p\left(\frac{\partial T}{\partial t} + v_j \frac{\partial... ...tial}{\partial x_j}\left(\kappa\frac{\partial T}{\partial x_j}\right) + \Phi_v.$$ (4.3)

El sistema de ecuaciones se completaría con la ecuación de estado de los gases perfectos:

$$\frac{p}{\rho}=RT.$$ (4.4)

Se ha supuesto que la única fuerza másica existente es la de gravedad (dirección vertical para $i=3$) y que el calor específico es constante, aunque el análisis podría generalizarse fácilmente. La solución de estas ecuaciones, que consistirá en las distribuciones de las variables dependientes (se tomará como tales $u$, $v$, $w$, $p$ y $T$) en función de $x$, $y$, $z$ y $t$, dependerá obviamente de los parámetros que aparecen en las ecuaciones y en las condiciones iniciales y de contorno. Se supondrá que en el problema intervienen, entre otros, los siguientes parámetros conocidos^4.2: $L$, $t_0$, $V_0$, $\rho_0$, $T_0$, $\mu_0$, $\kappa_0$. Se trata de utilizar estos parámetros para adimensionalizar las ecuaciones y las condiciones de contorno, y para ello se va a hacer un cambio de variables de forma que las nuevas variables dependientes e independientes no tengan dimensiones. Veremos que en las ecuaciones adimensionalizadas los parámetros conocidos aparecerán agrupados en números o parámetros adimensionales. Más adelante se discutirá lo que esto implica.

Se van a definir las siguientes magnitudes adimensionales:

$$x^*=x/L,\; y^*=y/L,\; z^*=z/L,\; t^*=t/t_0,$$ (4.5)

$$u^*=u/V_0,\; v^*=v/V_0,\; w^*=w/V_0,\; p^*=p/p_0,\; \rho^*=\rho/\rho_0,$$ (4.6)

$$\mu^*=\mu/\mu_0,\; \mu_v^*=\mu_v/\mu_0,\; \kappa^*=\kappa/\kappa_0,\; \Phi_v^*=\Phi_v/\Phi_{v_0}.$$ (4.7)

Se tomará $p_0=\rho_0 V_0^2$ y $\Phi_{v_0}=\mu_0 V_0^2/L^2$. Introduciendo las ecuaciones (4.5) a (4.7) en las ecuaciones (4.1) a (4.3), se obtiene

$$\left\{\frac{\rho_0}{t_0}\right\}\frac{\partial \rho^*}{\partial t^*} + \left\{\frac{\rho_0 V_0}{L}\right\}\vec{\nabla}^*\cdot (\rho^*\vec{v^*})=0,$$ (4.8)

$$\begin{split}\left\{\frac{\rho_0 V_0}{t_0}\right\}\rho^*\frac... ...] & + \left\{\rho_0 g\right\}\rho^* \delta_{i3}, \end{split}$$ (4.9)

$$\begin{split}\left\{\frac{\rho_0 c_p T_0}{t_0}\right\}\rho^*\... ...) + \left\{\frac{\mu_0 V_0^2}{L^2}\right\}\Phi_v^*. \end{split}$$ (4.10)

En estas ecuaciones, los factores entre llaves son magnitudes con dimensiones que multiplican a términos de orden unidad en los que aparecen exclusivamente magnitudes adimensionales. En cada ecuación, las dimensiones de dichos factores son las mismas en todos los términos. Dividiendo los factores correspondientes a dos términos cualesquiera de una determinada ecuación, se obtiene un número adimensional cuyo valor, para cada combinación dada de valores de los parámetros que en él intervienen, proporcionará una estimación del orden de magnitud relativo de dichos términos.

Si se divide cada una de las ecuaciones (4.8) a (4.10) por el factor que aparece en cada una de ellas en el término convectivo (segundo término), se obtiene

$$\left\{\frac{L}{V_0 t_0}\right\}\frac{\partial \rho^*}{\partial t^*} + \vec{\nabla}^*\cdot (\rho^*\vec{v^*})=0.$$ (4.11)

$$\begin{split}\left\{\frac{L}{V_0 t_0}\right\}\rho^*\frac{\par... ... \left\{\frac{gL}{V_0^2}\right\}\rho^* \delta_{i3}, \end{split}$$ (4.12)

$$\begin{split}\left\{\frac{L}{V_0 t_0}\right\}\rho^*\frac{\par... ...\frac{\mu_0 V_0}{\rho_0 c_p T_0 L}\right\}\Phi_v^*. \end{split}$$ (4.13)

La ecuación de estado (4.4) adimensionalizada queda de la forma siguiente

$$\frac{p^*}{\rho^*}=\left\{\frac{RT_0}{V_0^2}\right\}T^*.$$ (4.14)

Las magnitudes entre llaves en las ecuaciones (4.11) a (4.14) son ahora adimensionales. Teniendo en cuenta las siguientes definiciones de números adimensionales:

$$=\frac{L}{V_0 t_0},$$ (4.15)

$$=\frac{\rho_0 V_0 L}{\mu_0},$$ (4.16)

$$=\frac{V_0}{(gL)^{1/2}},$$ (4.17)

$$=\frac{\mu_0 c_p}{\kappa_0},$$ (4.18)

$$=\frac{V_0}{(\gamma R T_0)^{1/2}},$$ (4.19)

$$\gamma=\frac{c_p}{c_v},$$ (4.20)

las ecuaciones (4.11) a (4.14) pueden escribirse de la forma siguiente:

$$( ) \frac{\partial \rho^*}{\partial t^*} + \vec{\nabla}^*\cdot (\rho^*\vec{v^*})=0,$$ (4.21)

$$\begin{split}(\mbox{St}) \rho^*\frac{\partial v_i^*}{\partia... ... & + \frac{1}{(\mbox{Fr})^2} \rho^* \delta_{i3}, \end{split}$$ (4.22)

$$\begin{split}(\mbox{St}) \rho^*\frac{\partial T^*}{\partial ... ...\kappa^*\frac{\partial T^*}{\partial x_j^*}\right). \end{split}$$ (4.23)

La ecuación de estado (4.4) adimensionalizada queda de la forma siguiente

$$\frac{p^*}{\rho^*}=\frac{1}{\gamma (\mbox{M})^2} T^*.$$ (4.24)

Es importante entender las conclusiones e implicaciones del análisis que se acaba de realizar. Ya se indicó que la solución de la ecuaciones (4.1) a (4.4), determinada por las distribuciones de $u$, $v$, $w$, $p$ y $T$ en función de $x$, $y$, $z$ y $t$, dependerá de los parámetros que aparecen en dichas ecuaciones y en las condiciones iniciales y de contorno. Los parámetros que se han utilizado para adimensionalizar las ecuaciones, junto con los restantes que aparecen en ellas, son los siguientes: $L$, $t_0$, $V_0$, $\rho_0$, $T_0$, $\mu_0$, $\kappa_0$, $g$, $c_p$ y $R$. Es inmediato observar tras una simple inspección de las ecuaciones (4.21) a (4.24) que la solución dada por las variables adimensionales $u^*$, $v^*$, $w^*$, $p^*$ y $T^*$ en función de $x^*$, $y^*$, $z^*$ y $t^*$ sólo dependerá de los seis números adimensionales siguientes: St, Re, Pr, Fr, M y $\gamma$, y de aquellos que pudiesen aparecer en las condiciones iniciales y de contorno adimensionalizadas. Esto significa que la dependencia de la solución con respecto a los parámetros que intervienen en el problema ha podido ser simplificada de forma notable, y que, una vez obtenida la solución en forma adimensional para un conjunto determinado de valores de los parámetros que intervienen, dicha solución permitirá determinar la solución correspondiente a cualquier otro conjunto de valores de parámetros siempre que éstos proporcionen los mismos valores de los números adimensionales que aquellos para los que fue obtenida la solución adimensional. Éste es un resultado extraordinariamente útil también en mecánica de fluidos experimental: la descripción de un flujo puede hacerse a partir de los resultados de un experimento en el que las condiciones sean semejantes a las que existen en dicho flujo. La semejanza entre dos flujos queda precisamente garantizada por la igualdad de los números adimensionales relevantes en el problema, determinados a partir de los parámetros que definen las condiciones que describen cada uno de los flujos.

De las ecuaciones (4.21) a (4.23), teniendo en cuenta que han sido obtenidas dividiendo los factores entre llaves de las ecuaciones (4.11) a (4.13) por el que aparece en el término convectivo de cada una de ellas, puede deducirse fácilmente el significado físico de cada una de los números adimensionales definidos en las ecuaciones (4.15) a (4.20).

El denominado número de Strouhal, St, expresa la importancia relativa del término de variación local de cada una de las ecuaciones (primer término) frente al correspondiente término convectivo (segundo término). Obsérvese que si St$\ll 1$, el primer término de cada ecuación puede despreciarse frente al segundo, y el flujo puede generalmente considerarse quasi-estacionario.^4.3 Esto último significa que el tiempo característico asociado a la no estacionareidad del movimiento, $t_0$, es mucho mayor que el tiempo que emplea una partícula fluida en recorrer la longitud característica del problema, $L/V_0$.^4.4

El número de Reynolds, Re, expresa la relación entre los órdenes de magnitud de los términos convectivo y viscoso en la ecuación de conservación de la cantidad de movimiento. Establece, por tanto, el orden de magnitud relativo de las fuerzas de inercia debidas a la aceleración convectiva frente a las fuerzas debidas a la viscosidad que actúan sobre el fluido. Cuando el número de Reynolds es suficientemente grande (según el tipo de flujo, Re puede tomar desde valores próximos a cero hasta valores del orden de $10^{10}$ o incluso superiores,^4.5 el término viscoso de la ecuación de conservación de la cantidad de movimiento tiende a anularse (excepto en determinadas zonas del campo fluido, según se discutirá más adelante).***

El cuadrado del número de Froude, (Fr)$^2$, expresa la relación entre los términos que representan las fuerzas de inercia debidas a la aceleración convectiva y las fuerzas gravitatorias en la ecuación de conservación de la cantidad de movimiento. Obsérvese que el último término de la ecuación (4.22), que representa la contribución de las fuerzas gravitatorias en el balance de cantidad de movimiento de la partícula fluida, puede despreciarse cuando el número de Froude es suficientemente grande. En el estudio de flujos con superficie libre^4.6 el número de Froude es importante. En este tipo de flujos, la acción de la gravedad consigue mantener la superficie libre horizontal sólo cuando el número de Froude es suficientemente bajo, en cuyo caso puede despreciarse la resistencia al movimiento de un cuerpo que flote sobre la superficie libre, asociada a la generación de olas.

El número de Mach, M, expresa la relación entre la velocidad del fluido $V_0$ y la velocidad de propagación del sonido en el fluido $c_0=(\gamma R T_0)^{1/2}$, y proporciona una medida de la importancia de los efectos de compresibilidad en el flujo.^4.7Si la velocidad típica del fluido es suficientemente pequeña frente a la velocidad del sonido, las variaciones relativas de densidad debidas a variaciones de presión en el flujo serán muy pequeñas.

El número de Prandtl, Pr, expresa la relación entre la difusividad de cantidad de movimiento (o viscosidad cinemática), $\nu_0=\mu_0/\rho_0$, y la difusividad térmica, $\alpha_0=\kappa_0/(\rho_0 c_p)$. Obsérvese que esta relación viene dada por el cociente de los factores entre llaves que afectan a los términos de difusión de cantidad de movimiento y de conducción de calor de las ecuaciones (4.12) y (4.13). Pr es de orden unidad en gases. En agua, Pr$=8.1$ a 15$^\circ$C, y disminuye rápidamente al aumentar la temperatura. En metales líquidos como el mercurio y el sodio, Pr es mucho menor que la unidad.

Si se adimensionaliza también la ecuación (3.16), pueden introducirse otros dos números adimensionales análogos al número de Prandtl: el número de Schmidt,

$$=\frac{\mu_0}{\rho D_i},$$ (4.25)

que expresa la relación entre las difusividades de cantidad de movimiento y de masa^4.8, y el número de Lewis,

$$=\frac{\kappa_0}{\rho_0 c_p D_i},$$ (4.26)

que relaciona las difusividades térmica y de masa de la especie $i$.

Debe observarse que, a diferencia de lo que ocurre con los números de Reynolds, Strouhal, Froude y Mach (entre otros), que dependen de las condiciones del flujo, los números de Prandtl, Schmidt y Lewis se determinan exclusivamente a partir de propiedades del fluido que dependen del estado termodinámico para el que se evalúen.

Existen bastantes más números adimensionales que los que se acaba de comentar, que aparecen en problemas en los que intervienen, por ejemplo, fenómenos de tensión superficial (número de Weber, We), procesos de transmisión de calor por convección natural (número de Grashof, Gr, o de Rayleigh, Ra$=($Gr$)($Pr$)$), transmisión de calor entre fluidos en movimiento y sólidos (número de Nusselt, Nu), etc. También suelen utilizarse números adimensionales que son combinaciones de otros ya mencionados aquí, tales como el número de Peclet ( Pe$=($Re$)($Pr$)$). Una descripción más detallada de los números adimensionales más importantes y de problemas en los que intervienen puede encontrarse en algunas de las referencias indicadas al final del texto. También pueden consultarse estas referencias para estudiar conceptos y métodos que facilitan el análisis dimensional, en particular el teorema $\Pi$ de Buckingham, que permite simplificar de forma sistemática la relación funcional entre los diversos parámetros que intervienen en un problema dado. En cualquier caso, la mejor forma de aplicar el análisis dimensional a un problema, y particularmente si lo que se pretende es llevar a cabo posteriormente un estudio numérico, es el basado en la adimensionalización de las ecuaciones de conservación y condiciones de contorno, que deben incluir todos los términos necesarios para la descripción apropiada del flujo. Aunque la discusión que se ha presentado en este capítulo ha sido necesariamente muy breve, es importante comprender los conceptos básicos y la utilidad del análisis dimensional en mecánica de fluidos.

Ejemplo 1: Un depósito de grandes dimensiones contiene un líquido de densidad $\rho$ y viscosidad $\mu$ sobre cuya superficie libre, situada a una altura $h$ sobre el fondo, existe una presión manométrica $\Delta p$. El líquido se descarga a la atmósfera a través de una tubería lisa horizontal, de longitud $L$ y sección circular de diámetro $d$, conectada al fondo del depósito. Mediante análisis dimensional, se trata de simplificar la dependencia funcional del caudal de descarga, $Q$, con los parámetros que intervienen en el problema.

Si suponemos que el flujo es quasi-estacionario al ser el depósito muy grande, las ecuaciones que describen el flujo son las siguientes:

$$\vec{\nabla}\cdot\vec{v}=0,$$ (4.27)

$$\rho\vec{v}\cdot\vec{\nabla}\vec{v}+ \mbox{\boldmath$\nabla$} p=\mu \mbox{\boldmath$\nabla$} ^{2} \mbox{\boldmath$ v$} +\rho \mbox{\boldmath$ g$} ,$$ (4.28)

que deberían ser resueltas con las condiciones de contorno apropiadas:

• En la superficie libre del líquido, situada a una altura $h$, la presión manométrica es $\Delta p$.
• En las paredes de la tubería (definidas geométricamente por el diámetro de la tubería, $d$, y su longitud, $L$, se impone la condición de no deslizamiento y de velocidad normal a la pared nula. (En el depósito, al ser de grandes dimensiones, puede suponerse que el fluido está en reposo, y la condición de contorno en la pared no tiene apenas influencia en la solución.)
• En la sección de salida de la tubería (definida geométricamente por $d$ y por la distancia, $L$, a la que se encuentra del depósito), la presión manométrica es nula.

Como puede observarse, en el conjunto de ecuaciones y condiciones de contorno aparecen los siguientes parámetros: $\Delta p$, $g$, $\rho$, $\mu$, $h$, $d$ y $L$. La solución (distribuciones de velocidad y presión en todo el campo fluido) va a depender, por tanto, de ellos. Una magnitud como el caudal, $Q$, que se obtiene integrando la distribución de velocidad en una sección de la tubería, por ejemplo, dependerá también, por tanto, de dichos parámetros. Las ecuaciones adimensionalizadas toman la forma siguiente:

$$\vec{\nabla}^*\cdot\vec{v^*}=0,$$ (4.29)

$$\vec{v}^*\cdot\vec{\nabla}^*\vec{v}^*+\vec{\nabla}^* p^*=\frac{1}{(\mbox{Re})}\vec{\nabla}^{*2}\vec{v}^* + \frac{1}{(\mbox{Fr})^2},$$ (4.30)

siendo $\vec{v}^*=\vec{v}(\rho/\Delta p)^{1/2}$, $p^*=p/\Delta p$, $\vec{x}^*=\vec{x}/L$, $\vec{\nabla}^*=L\vec{\nabla}$, Re$=(\rho \Delta p)^{1/2}L/\mu$ y Fr$=[\Delta p/(\rho g L)]^{1/2}$, y las condiciones de contorno (tomando el origen de coordenadas en el centro del orificio de salida, el eje $z$ vertical y el eje $x$ a lo largo de la tubería):

• En la superficie libre del líquido, situada a una altura $z^*=h/L$, la presión manométrica es $\Delta p^*=1$.
• En las paredes de la tubería [ $y^{*2} + z^{*2} = (d/L)^2$], $\vec{v}^*=0$.
• En la sección de salida de la tubería ($x^*=1$), $p^*=0$.

De las ecuaciones (4.29) y (4.30) y de las condiciones de contorno se deduce que la solución, definida por las distribuciones de $\vec{v}^*$ y $p^*$ en función de $\vec{x}^*$, y, por tanto, el caudal adimensional $Q^*=Q(\rho/\Delta p)^{1/2}/d^2$, dependerán de los siguientes parámetros: Re, Fr, $d/L$ y $h/L$.

Ejemplo 2: Supóngase un canal vertical formado por dos placas planas y paralelas, una de las cuales se mantiene a una temperatura uniforme, $T_{w}$, siendo la otra adiabática. La altura del canal es $L_c$ y la separación entre placas, $b$. El problema se considerará bidimensional y estacionario. Se trata de estudiar el flujo de un gas perfecto inducido por flotación en el canal, que se supondrá que puede describirse mediante las correspondientes ecuaciones de conservación de la masa, cantidad de movimiento y energía interna, en las que la densidad, la viscosidad y la conductividad térmica se considerarán variables. Demuéstrese que a partir de dichas ecuaciones es posible deducir las siguientes ecuaciones en forma adimensional ($x$ e $y$ son las coordenadas en dirección vertical y transversal al canal, respectivamente; se tomará el origen de $x$ en el extremo inferior del canal, y el de $y$ en la placa caliente):

$$\frac{\partial(\rho^{*}U)}{\partial X}+\frac{\partial(\rho^{*} V)}{\partial Y}=0,$$ (4.31)

$$\rho^{*}\left(U\frac{\partial U}{\partial X}+V\frac{\partial U}{\... ...l}{\partial Y}\left(\mu^{*}\frac{\partial U}{\partial Y}\right)+\rho^{*}\theta,$$ (4.32)

$$\rho^{*}\left(U\frac{\partial V}{\partial X}+V\frac{\partial V}{\partial Y}\right)=- ( )^{2}\frac{\partial P}{\partial Y}+\frac{1}{(\mbox{Gr})^{2}}\frac... ...)+\frac{\partial}{\partial Y}\left(\mu^{*}\frac{\partial V}{\partial Y}\right),$$ (4.33)

$$\rho^{*}\left(U\frac{\partial \theta}{\partial X}+V\frac{\partial... ...{\partial}{\partial Y}\left(\kappa^{*}\frac{\partial\theta}{\partial Y}\right),$$ (4.34)

en las que aparecen las siguientes magnitudes adimensionales:

$$X=\frac{x}{b (\mbox{Gr})},\;\; Y=\frac{y}{b},\;\; U=\frac{\rho_{... ...\mu_{\infty}^{2}(\mbox{Gr})^{2}},\; \theta=\frac{T-T_\infty}{T_{w}-T_{\infty}},$$ (4.35)

$$=\rho_{\infty}^{2}g\Delta T^{*}b^{3}/\mu_{\infty} ^{2},\;\; =\mu_{\infty}c_{p}/\kappa_{\infty},\;\; \rho^{*}=\rho/\rho_{\infty},\;\; \mu^{*}=\mu/\mu_{\infty},\;\; \kappa^{*}=\kappa/\kappa_{\infty}.$$ (4.36)

$p$ es la diferencia entre la presión dentro del canal y la presión ambiente en el exterior, $p_{\infty}$, que se supondrá que satisface d$p_{\infty}/$d$x=-\rho_{\infty}g$, y $\Delta T^{*}=(T_{w}-T_{\infty})/T_{\infty}$. Si se desprecian las variaciones de presión en la ecuación de estado, puede tomarse

$$\rho^{*}=\rho/\rho_{\infty}=T_{\infty}/T=1/(1+\Delta T^{*}\theta).$$ (4.37)

Se supondrá que es posible utilizar las siguientes expresiones para $\mu^{*}$ y $\kappa^{*}$:

$$\mu^{*}=\frac{(1+\Delta T^{*}\theta)^{1.5}}{1+\Delta T^{*}\theta ... ...frac{(1+\Delta T^{*}\theta)^{1.5}}{1+\Delta T^{*}\theta /(1+C_{2}/T_{\infty})}.$$ (4.38)

donde $C_{1}$ y $C_{2}$ son constantes.

Como condiciones de contorno se supondrá que pueden imponerse las siguientes: En las paredes, la condición de no deslizamiento; una temperatura fija en la pared caliente, igual a $T_w$ ($\theta=1$), y un flujo de calor nulo en la pared adiabática ( $\partial\theta/\partial Y=0$). En la sección de salida ( $X=L_c/[b($Gr$)]$), se fijará $p=0$ y se supondrán despreciables las variaciones de las magnitudes fluidas en la dirección del eje $x$. En la sección de entrada al canal ($X=0$), se supondrá que el flujo másico depende de la raíz cuadrada de la diferencia entre la presión ambiente (en el exterior del canal) y la presión en la sección de entrada (equivalente a aplicar la ecuación de Bernoulli entre un punto en el exterior del canal, alejado de la sección de entrada, y cualquier punto de ésta); en la ecuación de la energía, puede suponerse que no hay flujo de calor por conducción a través de la sección de entrada, y que el fluido entrante tiene la temperatura ambiente $T_\infty$.

De las ecuaciones (4.31) a (4.34), (4.37) y (4.38) y las condiciones de contorno, se deduce que la solución, y en particular el número de Nusselt

   Nu$$=\frac{b(\mbox{Gr})}{L_{c}}\int^{L_{c}/[b (\mbox{\scriptsize Gr})]}_{0}{\mbox{Nu}_{x} \mbox{d}X},$$

siendo Nu$_{x}=\left.\partial \theta/\partial Y\right\vert _{Y=0}$ el número de Nusselt local, dependerá en general de seis parámetros adimensionales; por ejemplo, Ra, Pr, $b/L_{c}$, $\Delta T^{*}$, $C_{1}/T_{\infty}$ y $C_{2}/T_{\infty}$,^4.9 siendo Ra$=($Gr$)($Pr$)$. Ra es el número de Rayleigh, y Gr el número de Grashof, definido en la ecuación (4.36).

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