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Formulación basada en la vorticidad y la función de corriente

En flujos bidimensionales y laminares de fluidos que se comportan como incompresibles es posible considerar una formulación alternativa a la correspondiente a las ecuaciones (5.38) y (5.39), que en este caso toman la forma

$\displaystyle \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial v}{\partial y}=0,$ (5.45)

$\displaystyle \frac{\partial u}{\partial t} + u \frac{\partial u}{\partial x} ...
...t(\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2}\right),$ (5.46)

$\displaystyle \frac{\partial v}{\partial t} + u \frac{\partial v}{\partial x} ...
...t(\frac{\partial^2 v}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 v}{\partial y^2}\right),$ (5.47)

(las ecuaciones se presentan en forma adimensional).5.11 Dicha formulación alternativa se basa en la utilización de la vorticidad $ \vec{\omega}$ y la función de corriente $ \psi$ como variables dependientes.

Tomando la derivada parcial con respecto a $ y$ en la ecuación (5.46) y la derivada parcial con respecto a $ x$ en la ecuación (5.47), y restando las igualdades resultantes, se obtiene

$\displaystyle \frac{\partial \omega}{\partial t} + u \frac{\partial \omega}{\p...
...artial^2 \omega}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 \omega}{\partial y^2}\right),$ (5.48)

siendo $ \omega$ la única componente del vector vorticidad ( $ \omega=\omega_z$),

$\displaystyle \omega=\frac{\partial v}{\partial x} - \frac{\partial u}{\partial y}.$ (5.49)

Obsérvese que en la ecuación (5.48),5.12 que coincide con la ecuación (3.51), no aparece la presión.

Por otra parte, introduciendo la función de corriente definida en las ecuaciones (5.16) y (5.17),

$\displaystyle u=\frac{\partial\psi}{\partial y},\;\;\; v=-\frac{\partial\psi}{\partial x},$ (5.50)

en la ecuación (5.49), se obtiene la ecuación (5.19)

$\displaystyle \nabla^2\psi = -\omega.$ (5.51)

Tal como se indicó en la Sección 5.2.3, la función de corriente $ \psi$ satisface la ecuación (5.45) de conservación de la masa.

Esta formulación vorticidad/función de corriente queda por tanto definida mediante las ecuaciones (5.48), (5.50) y (5.51). La sustitución de las expresiones de la ecuación (5.50) en la ecuación (5.48) eliminaría la presencia explícita de las componentes de la velocidad, resultando un sistema formado por las ecuaciones

$\displaystyle \frac{\partial \omega}{\partial t} + \frac{\partial\psi}{\partial...
...artial^2 \omega}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 \omega}{\partial y^2}\right),$ (5.52)

$\displaystyle \nabla^2\psi = -\omega,$ (5.53)

en el que sólo intervendrían las dos variables dependientes $ \omega$ y $ \psi$, aunque ello podría dar lugar a la obtención de soluciones menos precisas al resolver numéricamente las ecuaciones (Fletcher, 1991).

Una vez resueltas las ecuaciones (5.52) y (5.53), es posible obtener la distribución de presión reducida resolviendo la siguiente ecuación

$\displaystyle \frac{\partial^2 p}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 p}{\partial ...
...rtial y^2} - \left(\frac{\partial^2\psi}{\partial x\partial y}\right)^2\right],$ (5.54)

que se deduce tomando la divergencia en la ecuación de conservación de la cantidad de movimiento.

En problemas tridimensionales es también posible, en principio, utilizar una formulación de este tipo, aunque en este caso la vorticidad tiene tres componentes y la función de corriente debe sustituirse por un potencial vector.


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© 2000, 2001, Julio Hernández Rodríguez, ETSII, Universidad Nacional de Educación a Distancia, Madrid