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Flujos bidimensionales. Concepto de función de corriente

Como ya se indicó en la Sección 2.3, un flujo bidimensional es un flujo plano (una de las componentes del vector velocidad en un sistema de referencia cartesiano es nula) en el que el vector velocidad no varía en dirección perpendicular al plano que lo contiene:

$\displaystyle \vec{v}=u(x,y,t) \vec{i}+ v(x,y,t) \vec{j}.
$

En estos flujos, cuando el fluido es incompresible, la ecuación (3.11), que en este caso se reduce a

$\displaystyle \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial v}{\partial y}=0,$ (5.15)

garantiza la existencia de una función $ \psi=\psi(x,y,t)$, denominada función de corriente, definida por5.5

$\displaystyle u=\frac{\partial\psi}{\partial y},$ (5.16)

$\displaystyle v=-\frac{\partial\psi}{\partial x},$ (5.17)

de forma que

d$\displaystyle \psi=-v $d$\displaystyle x + u $d$\displaystyle y.$ (5.18)

Obsérvese que el campo de velocidades queda completamente definido una vez conocida la función $ \psi(x,y,t)$. Ésta puede determinarse en cualquier punto $ \vec{x}$, salvo por una constante de integración, mediante

$\displaystyle \psi=\psi_0 + \int_{\vec{x}_0}^{\vec{x}} (u $d$\displaystyle x -
v $d$\displaystyle y),
$

donde la integral curvilínea puede hacerse a través de cualquier línea de integración que una $ \vec{x}$ con el punto $ \vec{x}_0$, en el que $ \psi=\psi_0$.

Asimismo obsérvese que las líneas de corriente definidas en la ecuación (2.14) son líneas en las que $ \psi=$constante. Por tanto, las líneas de $ \psi=$constante son tangentes al vector velocidad en cada punto, de lo que se deduce que el flujo volumétrico a través de ellas debe ser nulo. Teniendo esto último en cuenta, aplicando la ecuación (3.5) al volumen ``bidimensional'' sombreado de la Figura 5.1,

Figura 5.1:
\includegraphics[scale=1.8]{corriente.eps}

se deduce que el flujo volumétrico por unidad de longitud5.6

$\displaystyle q=\int_{\vec{x}_0}^{\vec{x}_1}\vec{v}\cdot\vec{n} $d$\displaystyle l,
$

es el mismo, e igual a $ \psi_1-\psi_0$, a través de cualquier línea que una dos puntos cualesquiera $ \vec{x}_0$ y $ \vec{x}_1$, situados en sendas líneas de corriente definidas por $ \psi_0$ y $ \psi_1$, respectivamente. Si en un flujo se representan las líneas de corriente correspondientes a valores equiespaciados de $ \psi$, la distancia entre ellas será inversamente proporcional a la velocidad del fluido.

En un flujo plano, la vorticidad tiene una única componente en dirección perpendicular al plano que contiene a $ \vec{v}$:

$\displaystyle \omega_z=\frac{\partial v}{\partial x} - \frac{\partial u}{\partial y}= -\nabla^2\psi.$ (5.19)

Si el flujo es, además de incompresible, irrotacional, se tiene, en vista de la ecuación anterior,

$\displaystyle \nabla^2\psi=0,$ (5.20)

y, teniendo en cuenta la ecuación (5.7),

$\displaystyle u=\frac{\partial\phi}{\partial x} = \frac{\partial\psi}{\partial y},$ (5.21)

$\displaystyle v=\frac{\partial\phi}{\partial y}= -\frac{\partial\psi}{\partial x}.$ (5.22)

Las segundas igualdades de las ecuaciones (5.21) y (5.22) expresan las condiciones de Cauchy-Riemann que aparecen en la teoría de funciones de variable compleja. Estas condiciones son necesarias y suficientes (si las derivadas en las ecuaciones (5.21) y (5.22) son continuas) para que $ w = \phi + i\psi$ sea una función analítica de la variable compleja $ z = x + iy$. A la función $ w(z)$ se le denomina potencial complejo.5.7 En principio, por tanto, cualquier función analítica de $ z$ puede proporcionar un campo de velocidades irrotacional en un flujo incompresible.

Las componentes de $ \vec{v}$ están directamente relacionadas con d$ w/$d$ z$:

$\displaystyle \frac{\mbox{d}w}{\mbox{d}z}=\frac{\partial\phi}{\partial x} + i\f...
...}{i}\frac{\partial\phi}{\partial y} + \frac{\partial\psi}{\partial y} = u - iv.$ (5.23)

Obsérvese que, dado que las líneas de $ \phi=$constante y las líneas de corriente $ \psi=$constante son perpendiculares ( $ \vec{v}=\vec{\nabla}\phi$) y tangentes, respectivamente, al vector velocidad, ambos tipos de líneas deben ser perpendiculares entre sí.

Cuando el fluido es compresible pero el flujo es estacionario, de forma que la ecuación de continuidad queda de la forma

$\displaystyle \frac{\partial}{\partial x} (\rho u) + \frac{\partial}{\partial y} (\rho v)=0,$ (5.24)

puede introducirse también una función de corriente, aunque su utilización no resultan tan interesante como en el caso de flujo incompresible.


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© 2000, 2001, Julio Hernández Rodríguez, ETSII, Universidad Nacional de Educación a Distancia, Madrid