Flujos irrotacionales. Concepto de potencial de velocidad

Como se ha indicado anteriormente, en este tipo de flujos se satisface la condición

$$\vec{\nabla}\wedge \vec{v}=0,$$ (5.6)

de forma que la distribución de las tres componentes de la velocidad queda determinada a partir de una única función escalar $\phi(\vec{x},t)$, denominada potencial de velocidad:

$$\vec{v}=\vec{\nabla}\phi,$$ (5.7)

razón por la cual a los flujos irrotacionales se les denomina también flujos potenciales.

La ecuación de conservación de la masa puede entonces expresarse de la forma

$$\frac{\mbox{D}\rho}{\mbox{D}t} + \rho\nabla^2\phi=0.$$ (5.8)

Cuando $\vec{\nabla}\cdot\vec{v}=0$ (flujo incompresible), $\phi$ es una función potencial que satisface

$$\nabla^2\phi=0.$$ (5.9)

La ecuación (3.36) de conservación de la cantidad de movimiento, teniendo en cuenta la ecuación (3.40), se simplifica y queda como sigue:^5.2

$$\rho\vec{\nabla}\left[\frac{\partial \phi}{\partial t} + \frac{1}... ...t] =-\vec{\nabla}p + (\lambda + 2\mu)\vec{\nabla}(\nabla^2\phi)+ \rho\vec{f}_m.$$ (5.10)

Si las fuerzas másicas derivan de un potencial $U$, y puede suponerse que $p=p(\rho)$, es decir, que existe una relación de barotropía que permite expresar $\frac{1}{\rho}\vec{\nabla}p$ como el gradiente de una función escalar $\mathcal{P}(\rho)$ (tal como se discutirá en la Sección 5.3.1), al integrar la ecuación anterior se obtiene

$$\frac{\partial \phi}{\partial t} + \frac{1}{2}(\vec{\nabla}\phi)^2 + \mathcal{P} + U - (\lambda' + 2\nu)\nabla^2\phi = \mathcal{G}(t),$$ (5.11)

siendo $\mathcal{G}(t)$ una función de $t$ y $\lambda'=\lambda/\rho$. Si la densidad del fluido es constante (con lo que $\nabla^2\phi=0$, de acuerdo con la ecuación (5.9), y $\mathcal{P}=p/\rho$), resulta

$$\frac{\partial \phi}{\partial t} + \frac{1}{2}(\vec{\nabla}\phi)^2 + \frac{p}{\rho} + U = \mathcal{G}(t),$$ (5.12)

y si además el flujo es estacionario (el primer término de la ecuación (5.11) es nulo y obviamente $\mathcal{G}$ no depende de $t$), se obtiene finalmente la denominada ecuación de Bernoulli para flujos irrotacionales,

$$\frac{1}{2}(\vec{\nabla}\phi)^2 + \frac{p}{\rho} + U = ,$$ (5.13)

o bien,

$$\boxed{\frac{1}{2}v^2 + \frac{p}{\rho} + U = \mbox{constante},}$$ (5.14)

siendo $v=\vert\vec{v}\vert$ (no debe confundirse con la componente cartesiana del vector $\vec{v}$ según el eje $y$ que aparece en otros contextos).

Obsérvese que en la discusión anterior no hemos supuesto en ningún momento que el fluido sea ideal (es decir, con viscosidad nula), lo que quizá esté en aparente contradicción con la noción previa que el lector pueda tener de que la ecuación de Bernoulli es aplicable cuando los efectos de la viscosidad son despreciables. Esto se debe a que se ha supuesto que el flujo es incompresible, en cuyo caso se satisface^5.3 que $\nabla^2\vec{v}= -\vec{\nabla}\wedge\vec{\omega}$, lo que determina que $\nabla^2\vec{v}=0$ cuando el flujo es irrotacional y, por tanto, que el término de difusión de cantidad de movimiento se anule, lo cual obviamente ocurriría también cuando la viscosidad del fluido fuese nula.^5.4