Conceptos de trayectoria y senda de una partícula fluida, traza y línea de corriente

La trayectoria de una partícula fluida, definida por la ecuación (2.1), puede obtenerse a partir de la ecuación (2.7):

$$\frac{\mbox{d}\vec{x}}{\mbox{d}t}=\vec{v},$$ (2.12)

con la condición inicial $\vec{x}=\vec{x}_0$ en $t=t_{0}$.

La senda de una partícula fluida es el lugar geométrico de los puntos recorridos por la partícula. Se obtiene eliminando $t$ de las tres ecuaciones escalares ( $\vec{x}=\vec{x}[\vec{\xi}(\vec{x}_0,t_0),t]$) que definen la trayectoria de la partícula fluida.

En un instante dado $t$, la traza correspondiente a un punto definido por el vector de posición $\vec{y}$ es el lugar geométrico que ocupan las partículas fluidas que en instantes anteriores, $t^{*}$, han pasado por dicho punto (para cada una de estas partículas, el instante $t^{*}$ es obviamente diferente). Sería la línea descrita por un colorante sin difusividad inyectado en $\vec{y}$. La posición que ocupa la partícula fluida definida por $\vec{\xi}(\vec{y},t^{*})$ (recuérdese que $\vec{\xi}(\vec{y},t^{*})$ denota la partícula fluida que en el instante $t^{*}$ está en $\vec{y}$; véase la ecuación (2.2)) en el instante $t$ es

$$\vec{x}=\vec{x}\left[\vec{\xi}(\vec{y},t^{*}),t\right].$$ (2.13)

El valor del parámetro $t^{*}$ está comprendido en el rango $t^{*} \leq t$.

Obsérvese que, para un valor fijo de $t^{*}$, la ecuación (2.13) representa la trayectoria de la partícula fluida que en $t^{*}$ estaba en $\vec{y}$. Eliminando el parámetro $t$ entre las tres ecuaciones correspondientes a las tres componentes de $\vec{x}$, se obtiene la ecuación de la senda de dicha partícula fluida.

Para un valor fijo de $t$, la ecuación (2.13) proporciona la posición en el instante $t$ de las partículas fluidas que en sucesivos instantes $t^{*}$ pasaron por $\vec{y}$. Eliminando el parámetro $t^{*}$ entre las tres ecuaciones correspondientes a las tres componentes de $\vec{x}$, se obtiene la ecuación de la traza.

Los conceptos de senda y traza pueden ilustrarse mediante el siguiente ejemplo. Considérese la siguiente distribución de velocidad bidimensional:

$$v_1=\frac{x_1}{1+t},$$

$$v_2=x_2.$$

La posición en cada instante $t$ de la partícula fluida que en el instante $t^*$ ocupaba la posición $\vec{y}$ se obtiene integrando

$$\frac{\mbox{d}x_1}{\mbox{d}t}=v_1=\frac{x_1}{1+t},$$

$$\frac{\mbox{d}x_2}{\mbox{d}t}=v_2=x_2,$$

con la condición $x_1=y_1$, $x_2=y_2$ en $t=t^*$. El resultado es

$$x_1=y_1 \frac{1+t}{1+t^{*}},$$

$$x_2=y_2\exp{(t-t^{*})},$$

que son las ecuaciones correspondientes a la ecuación (2.13) (para un valor fijo de $t^*$, esta ecuación expresa la trayectoria de la partícula $\vec{\xi}(\vec{y},t^{*})$). Eliminando $t$ entre las dos ecuaciones anteriores se obtiene la senda de la partícula fluida que en el instante $t^*$ estaba situada en $\vec{y}$, y eliminando $t^*$, la traza correspondiente al punto $\vec{y}$ en el instante $t$.

Mientras que la trayectoria es un concepto que aparece en la descripción lagrangiana del flujo, la línea de corriente es un concepto euleriano. Las líneas de corriente en un flujo se definen en cada instante $t$, y son líneas tangentes en cada uno de sus puntos al vector velocidad local. Pueden determinarse, por tanto, en coordenadas cartesianas, a partir de las ecuaciones siguientes:

$$\frac{\mbox{d}x_1}{v_{1}(\vec{x},t)} = \frac{\mbox{d}x_2}{v_{2}(\vec{x},t)} = \frac{\mbox{d}x_3}{v_{3}(\vec{x},t)}$$ (2.14)

(en las que $t$ debe tomarse constante), que proporcionan una doble infinidad de líneas de corriente. Con la condición de contorno $\vec{x}=\vec{x}_0$ se determina la línea de corriente que pasa por $\vec{x}_0$.

En flujos estacionarios, las sendas, trazas y líneas de corriente coinciden.