Flujos barotrópicos

En flujos barotrópicos la densidad es en cada instante función de la presión exclusivamente: $\rho=\rho(p)$. Como un caso particular, los flujos de fluidos de densidad constante son siempre barotrópicos, pero obviamente los flujos de otros tipos de fluidos pueden también serlo. Los flujos isotermos y los flujos homentrópicos (que serán descritos a continuación) son casos particulares de este tipo de flujos. La relación de barotropía permite expresar

$$\int_{\vec{x}_0}^{\vec{x}}\frac{\mbox{d}p}{\rho} = \int_{\vec{x}_... ...{\mbox{d}\rho} {\mbox{d}\rho} = \mathcal{P}(\vec{x}) - \mathcal{P}(\vec{x}_0),$$ (5.25)

siendo $\vec{x}_0$ un punto de referencia arbitrario, habiéndose introducido la función $\mathcal{P}=\mathcal{P}(\rho)$, definida de la forma siguiente:^5.8

$$\frac{\mbox{d}\mathcal{P}}{\mbox{d}\rho} = \frac{1}{\rho} \frac{\mbox{d}p}{\mbox{d}\rho}.$$ (5.26)

Aplicando el operador gradiente a la ecuación (5.25), y teniendo en cuenta que, de acuerdo con la (5.26),

$$\frac{\mbox{d}\mathcal{P}}{\mbox{d}p} = \frac{1}{\rho},$$ (5.27)

resulta, utilizando notación de subíndices,

$$\frac{\partial}{\partial x_i}\int_{\vec{x}_0}^{\vec{x}}\frac{\mbo... ...frac{\partial p}{\partial x_i} = \frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial x_i}.$$ (5.28)

Es decir, en flujos barotrópicos,

$$\boxed{\frac{1}{\rho} \vec {\nabla}p = \vec {\nabla} \int\frac{\mbox{d}p}{\rho} = \vec {\nabla}\mathcal{P}.}$$ (5.29)

En flujos de fluidos de densidad constante,

$$\boxed{\frac{1}{\rho} \vec {\nabla}p = \vec {\nabla}\left(\frac{p}{\rho}\right).}$$ (5.30)

En flujos homentrópicos la entropía es uniforme en cada instante, de forma que $s=s(t)$ y

$$\vec{\nabla}s=0,$$ (5.31)

y de acuerdo con la ecuación (1.19),

$$\boxed{\frac{1}{\rho} \vec {\nabla} p = \vec {\nabla}h.}$$ (5.32)

Obsérvese que la ecuación (5.32) coincide con la ecuación (5.29) con $\mathcal{P}=h$.

En flujos isentrópicos, la entropía de una partícula fluida permanece constante en su movimiento,^5.9 es decir

$$\frac{\mbox{D}s}{\mbox{D}t},$$ (5.33)

por lo que, de acuerdo con la ecuación (1.19),

$$\boxed{\frac{1}{\rho} \frac{\mbox{D}p}{\mbox{D}t} = \frac{\mbox{D}h}{\mbox{D}t}.}$$ (5.34)

Si en un flujo isentrópico todas las partículas fluidas tienen inicialmente la misma entropía (es decir, si el flujo es inicialmente homentrópico), la entropía será en todo instante la misma en todas ellas, por lo que se cumplirá la ecuación (5.31), además de la ecuación (5.33), y el flujo será también homentrópico en todo instante.

En flujos isentrópicos estacionarios, la ecuación (5.33) se reduce a la condición de que la entropía sea constante a lo largo de una línea de corriente ( $\vec{v}\cdot\vec{\nabla}s = 0$). Si todas las líneas de corriente proceden de una región donde la entropía es constante, el flujo será también homentrópico.