Ecuaciones hiperbólicas y parabólicas

Como ya se ha comentado, también pueden estar descritos por ecuaciones de tipo parabólico o hiperbólico problemas estacionarios denominados de ``propagación'', con mecanismos disipativos cuando están descritos por ecuaciones parabólicas y sin ellos cuando se trata de ecuaciones hiperbólicas. En este tipo de problemas de propagación existe una coordenada espacial $x$ (que hace el papel que tiene el tiempo en problemas no estacionarios) a lo largo de la cual se puede avanzar en el cálculo sección a sección, de forma que la solución en un punto del dominio de cálculo de coordenada $x_{1}$ depende sólo de lo que ocurre en secciones aguas arriba ($x<x_{1}$) en problemas parabólicos, o de lo que ocurre en puntos dentro de un cono con origen en $x_{1}$ y situado aguas arriba del origen en problemas hiperbólicos. Paralelamente, cualquier perturbación que se produzca en un punto del dominio de coordenada $x_{1}$ sólo se transmite a puntos situados aguas abajo, dentro de la región $x>x_{1}$ en problemas parabólicos y dentro de una región cónica en problemas hiperbólicos.

Como ejemplos de problemas estacionarios parabólicos pueden citarse el flujo en la capa límite o en un chorro libre subsónico, y de problemas hiperbólicos el de un flujo supersónico no viscoso.

El carácter parabólico del flujo en la capa límite está relacionado con la posibilidad de introducir la aproximación descrita en la Sección 5.4.6, en la que se elimina el término de difusión de cantidad de movimiento según la dirección predominante del flujo, desapareciendo por tanto los términos que contienen derivadas de segundo orden según dicha dirección, y la presión en dirección transversal es constante. Estas simplificaciones no pueden hacerse, por ejemplo, en el caso de un chorro libre que impacte sobre una superficie sólida, lo que hace que el problema resulte de carácter elíptico. Los flujos descritos por las ecuaciones de Navier-Stokes parabolizadas, resultado de introducir una aproximación menos restrictiva que la aproximación de capa límite, consistente en eliminar los términos que contienen derivadas segundas según la dirección predominante del flujo, $x$, son también parabólicas en $x$.

La forma bidimensional de la ecuación (5.137) para flujos potenciales estacionarios de fluidos compresibles,

$$\begin{split}\left(1 -\frac{u^2}{c^2}\right)&\frac{\partial^2... ...2}\frac{\partial^2 \phi}{\partial x \partial y} =0, \end{split}$$ (6.14)

puede expresarse en la forma de la ecuación (6.5) haciendo

$$\mathcal{A}=1 -\frac{u^2}{c^2},$$ (6.15)

$$\mathcal{B}=-\frac{2uv}{c^2},$$ (6.16)

$$\mathcal{C}=1 -\frac{v^2}{c^2}.$$ (6.17)

El discriminante de la ecuación (6.9) resulta

$$\mathcal{B}^2 - 4\mathcal{A}\mathcal{C} = \frac{u^2 + v^2}{c^2}-1=M^2-1,$$ (6.18)

siendo $M$ el número de Mach. Se deduce entonces que la ecuación (6.14) es hiperbólica en flujos supersónicos, elíptica en flujos subsónicos y parabólica en la línea sónica $M=1$. Este carácter mixto de la ecuación para el potencial entraña una especial dificultad, al ser la línea de transición entre zonas de flujo subsónico y supersónico parte de la solución. Ya se comentó en la Sección 5.4.7 la complicación adicional que supone la posible aparición de ondas de choque en el flujo.

La ecuación (5.138), resultante de linealizar la ecuación (5.137) y realizar una simplificación adicional para flujos subsónicos y supersónicos, para flujo bidimensional queda de la forma

$$(1-M_\infty^2)\frac{\partial^2 \phi}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 \phi}{\partial y^2}=0.$$ (6.19)

En este caso, las soluciones de la ecuación (6.9) son

$$\frac{\mbox{d}y}{\mbox{d}x}=\pm \frac{1}{(M_\infty^2-1)^{1/2}},$$ (6.20)

lo que indica que existen dos características cuando el flujo es supersónico (líneas de Mach), que son dos rectas que forman un ángulo $\vartheta=\arcsin{(1/M_{\infty})}$ con la dirección de la velocidad incidente.