Ecuaciones hiperbólicas, parabólicas y elípticas

Las propiedades matemáticas de las diferentes ecuaciones de conservación que se han presentado en los capítulos anteriores obviamente están estrechamente relacionadas con las características físicas de los distintos tipos de flujos que describen. El carácter parabólico, hiperbólico o elíptico de las ecuaciones aproximadas depende del carácter de los distintos términos que aparecen en ellas.

La clasificación de las ecuaciones diferenciales en derivadas parciales puede hacerse utilizando el concepto matemático de superficies características. Consideraremos en lo que sigue, para simplificar la discusión, problemas descritos por ecuaciones diferenciales en derivadas parciales en las que sólo intervienen dos variables independientes (el tiempo y una coordenada espacial en problemas no estacionarios, o dos coordenadas espaciales en problemas estacionarios). En estos problemas, en la integración a lo largo de las líneas características (cuando éstas existen) de las ecuaciones que describen el flujo sólo intervienen diferenciales totales. Esto es lo que precisamente define a las líneas características, a lo largo de las cuales se verifican unas relaciones de compatibilidad que representan una formulación alternativa al sistema de ecuaciones original.

Veamos el ejemplo sencillo de una ecuación hiperbólica de primer orden,

$$\mathcal{A} \frac{\partial \Phi}{\partial t} + \mathcal{B} \frac{\partial \Phi}{\partial x}=\mathcal{C},$$ (6.1)

para la que existe una única característica real a través de cualquier punto en el plano $x-t$, cuya dirección está definida por

$$\frac{\mbox{d}x}{\mbox{d}t}=\frac{\mathcal{B}}{\mathcal{A}}.$$ (6.2)

A lo largo de esta dirección característica, la ecuación (6.1) se reduce a

$$\frac{\mbox{d}\Phi}{\mbox{d}t}=\frac{\mathcal{C}}{\mathcal{A}}$$ (6.3)

y

$$\frac{\mbox{d}\Phi}{\mbox{d}x}=\frac{\mathcal{C}}{\mathcal{B}}.$$ (6.4)

Estas ecuaciones diferenciales ordinarias pueden integrarse en una malla definida por la ecuación (6.2), siempre que las condiciones iniciales se impongan sobre una línea que no sea característica. Las líneas características serán rectas si $\mathcal{A}$ y $\mathcal{B}$ son constantes, y en general curvas si son funciones de $\Phi$, $x$ o $t$.

Consideremos ahora una ecuación de segundo orden. El carácter de una ecuación viene determinado por los coeficientes de las derivadas de mayor orden, por lo que consideraremos una ecuación expresada de la forma siguiente:

$$\mathcal{A} \frac{\partial^2 \Phi}{\partial x^2} + \mathcal{B} ... ...partial y} + \mathcal{C} \frac{\partial^2 \Phi}{\partial y^2} + \mathcal{D}=0,$$ (6.5)

donde $\mathcal{A}$, $\mathcal{B}$ y $\mathcal{C}$ pueden ser funciones de $x$ e $y$, y $\mathcal{D}$ contiene términos con derivadas primeras. Se trata de encontrar dos familias de curvas en el plano $x-y$ que satisfagan la condición de que, cuando se integra a largo de ellas la ecuación (6.5), sólo intervengan derivadas totales. Consideremos una curva $C$, cuya tangente en cada punto tiene una pendiente d$y/$d$x$, a lo largo de la cual se satisface

$$\left(\frac{\partial \Phi}{\partial x}\right)= \frac{\partial^2 \Phi}{\partial x^2} x + \frac{\partial^2 \Phi}{\partial x \partial y} y$$ (6.6)

y

$$\left(\frac{\partial \Phi}{\partial y}\right)= \frac{\partial^2 \Phi}{\partial x \partial y} x + \frac{\partial^2 \Phi}{\partial y^2} y.$$ (6.7)

Despejando $\partial^2\Phi/\partial x^2$ y $\partial^2\Phi/\partial y^2$ en las ecuaciones (6.6) y (6.7), respectivamente, y sustituyendo las expresiones resultantes en la ecuación (6.5), resulta

$$\begin{split}\mathcal{A} \frac{\mbox{d}}{\mbox{d}x}&\left(\f... ... \frac{\mbox{d}y}{\mbox{d}x} + \mathcal{C}\right]. \end{split}$$ (6.8)

Obsérvese que si se elige d$y/$d$x$ de forma que

$$\mathcal{A}\left(\frac{\mbox{d}y}{\mbox{d}x}\right)^2 - \mathcal{B} \frac{\mbox{d}y}{\mbox{d}x} + \mathcal{C}=0,$$ (6.9)

la ecuación (6.8) se reduce a

$$\mathcal{A} \frac{\mbox{d}}{\mbox{d}x}\left(\frac{\partial \Phi}... ...artial \Phi}{\partial y}\right) + \mathcal{D} \frac{\mbox{d}y}{\mbox{d}x} = 0,$$ (6.10)

donde debe notarse que sólo aparecen derivadas totales de $\partial \Phi/\partial x$ y $\partial \Phi/\partial y$, lo cual facilita obviamente la integración a lo largo de la curva $C$.

El discriminante $\mathcal{B}^2 - 4\mathcal{A}\mathcal{C}$ determina el número de soluciones para la pendiente d$y/$d$x$ que satisfacen la ecuación (6.9) en cada punto, y que, por tanto, definen las direcciones características a lo largo de las cuales se satisface y puede integrarse la ecuación (6.10).

Si $\mathcal{B}^2 - 4\mathcal{A}\mathcal{C} > 0$, existirán dos soluciones reales de la ecuación (6.9) y, por tanto, dos líneas características reales, a lo largo de las cuales se satisface la relación de la ecuación (6.10). Se dice entonces que la ecuación tiene un carácter hiperbólico. Veremos a continuación que las ecuaciones en derivadas parciales hiperbólicas están asociadas con problemas de propagación de ondas en los que no existen procesos disipativos, lo que determina que si las condiciones iniciales o de contorno contienen discontinuidades, éstas se propagarán en el interior del dominio. Esto es consistente con la posibilidad de que en las características existan discontinuidades en las derivadas normales de las magnitudes fluidas (las derivadas tangenciales son continuas). El hecho de que la ecuación (6.5) pueda resolverse mediante la integración de la ecuación (6.10) a lo largo de las características reales que existen en problemas hiperbólicos indica que la información se propaga en dichos problemas a lo largo de éstas. La solución en el segmento de línea AB de la Figura 6.1 (que no coincide con una característica) se propagará a lo largo de las características que parten de AB.

Figura 6.1:

Obsérvese que esto implica que las dos características que parten de los puntos A y B y se cruzan en el punto P ($C_2^-$ y $C_3^+$) delimitan la zona APB que determina la solución en P. Cualquier perturbación en el flujo que se produzca, por ejemplo, en los puntos C o D, no afectará a la solución en P. Por otra parte, la solución en el punto P sólo tendrá influencia en la región de aguas abajo de P limitada por las características que pasan por dicho punto.

Si $\mathcal{B}^2 - 4\mathcal{A}\mathcal{C} = 0$, existirá una única línea característica real, y la ecuación correspondiente tiene carácter parabólico. La característica a través de un punto P divide las zonas de dependencia e influencia de dicho punto. Puede argumentarse que la información se propaga a velocidad infinita, por lo que, en un problema no estacionario unidimensional, por ejemplo, cualquier perturbación introducida en un punto P en un instante dado $t_0$ puede afectar a la solución en todos los puntos del dominio en $t\geq t_0$, si bien la influencia será progresivamente menor en puntos cada vez más alejados de P. En problemas estacionarios bidimensionales, las características serán perpendiculares a la dirección del flujo y cualquier perturbación del flujo en un punto P no tendrá influencia aguas arriba de P. Obviamente, las características no desempeñan en estos flujos el papel que juegan en problemas parabólicos, y utilizar una malla de cálculo basada en las características no permitiría avanzar en el tiempo o en la dirección predominante del flujo para determinar la solución. En contraste con lo que ocurre en ecuaciones hiperbólicas, las derivadas de la variable dependiente $\Phi$ son siempre continuas en las características, y, debido a la presencia de mecanismos disipativos, ninguna discontinuidad que pueda existir en las condiciones iniciales o de contorno persistirá en el interior del dominio de cálculo.

Si $\mathcal{B}^2 - 4\mathcal{A}\mathcal{C} < 0$, no existirá ninguna característica real, y la ecuación correspondiente tiene carácter elíptico. En este caso, cualquier perturbación introducida en un punto P del dominio de cálculo afectará a la solución en cualquier otro punto, si bien de nuevo la influencia será pequeña en puntos alejados. Mientras que en flujos parabólicos e hiperbólicos es posible utilizar un procedimiento de avance en el tiempo o a lo largo de la dirección del flujo a partir de las condiciones ``iniciales'', en problemas elípticos esto no es posible. Cualquier discontinuidad que pueda existir en el contorno es suavizada en el interior del dominio debido a los mecanismos disipativos.

Un sistema de ecuaciones puede contener ecuaciones de distinto tipo. Por otra parte, también es posible definir el carácter de una ecuación con respecto a direcciones particulares.

Comentaremos a continuación algunos ejemplos de ecuaciones de distinto carácter que aparecen en mecánica de fluidos.