Ecuaciones elípticas

En mecánica de fluidos las ecuaciones elípticas corresponden siempre a problemas estacionarios. El ejemplo más simple es el de la ecuación de Laplace

$$\frac{\partial^{2}\Phi}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2}\Phi}{\partial y^{2}} + \frac{\partial^{2}\Phi}{\partial z^{2}}=0,$$ (6.21)

que describe el flujo potencial incompresible o la transmisión de calor por conducción en ausencia de fuentes de calor ($\Phi$ sería la temperatura en este caso). Ya se ha comentado que el flujo potencial, estacionario, compresible y subsónico también es un problema elíptico. Las ecuaciones de conservación estacionarias de la cantidad de movimiento y de la energía, por ejemplo, son también en general de tipo elíptico. La ecuación (6.21) es en realidad un caso muy particular de la ecuación (3.64) cuando no hay movimiento, el problema es estacionario y no hay fuentes de calor. La ecuación (5.77) de Poisson, que permite determinar $\vec{v}$ a partir de la distribución de presión en un flujo estacionario a bajos números de Reynolds de un fluido incompresible, es también de carácter elíptico.

Una dificultad adicional en algunos tipos de problemas se debe al distinto carácter que adquieren las ecuaciones de conservación en diferentes regiones del dominio.