Aproximaciones en flujos compresibles

A partir de la ecuación de estado $p=p(\rho,s)$, se puede escribir

$$\frac{\mbox{D}p}{\mbox{D}t}=\left(\frac{\partial p}{\partial s}\r... ...eft(\frac{\partial p}{\partial \rho}\right)_{s} \frac{\mbox{D}\rho}{\mbox{D}t},$$ (5.125)

y teniendo en cuenta la definición de velocidad del sonido

$$c = \left(\frac{\partial p}{\partial \rho}\right)_{s}^{1/2},$$ (5.126)

de la ecuación (5.125), adimensionalizando con el tiempo característico de convección, $L/V$, y la densidad, se obtiene

$$\frac{L}{V}\frac{1}{\rho}\frac{\mbox{D}\rho}{\mbox{D}t} = \frac{L... ...}\left(\frac{\partial p}{\partial s}\right)_{\rho} \frac{\mbox{D}s}{\mbox{D}t}.$$ (5.127)

Con ayuda de la ecuación (5.127) es posible analizar con detalle las causas que pueden dar lugar a que las variaciones relativas de densidad en un flujo sean relevantes, aunque en lo que sigue sólo se hará una discusión muy breve. De la ecuación (3.70) se deduce que la contribución del último término de la ecuación (5.127) se debe a fuentes externas de calor y a irreversibilidades asociadas a la disipación viscosa y a la conducción de calor, siendo la debida a estas últimas generalmente despreciable en la práctica. En cuanto al primer término del segundo miembro, puede estimarse a partir de la ecuación de Euler-Bernoulli, deduciéndose que las variaciones de densidad pueden despreciarse si el tamaño típico del problema $L$ es tal que $c^2/(gL)\gg 1$ (condición que no se da en meteorología y sí en aplicaciones técnicas); si el tiempo asociado a posibles efectos no estacionarios, $t_c$, es tal que $t_c^2 c^2/L^2\gg 1$ (esta condición no se satisface en acústica), y si $M^2= V^2/c^2\ll 1$. En flujos estacionarios, en lo que se refiere al término primero del segundo miembro de la ecuación (5.127), esta última condición es la única que debe tenerse en cuenta en aplicaciones prácticas.

A continuación se hará referencia muy brevemente a las posibles aproximaciones que en general pueden utilizarse para describir flujos con efectos de compresibilidad apreciables.