Aproximación de capa límite

Como ya se ha indicado anteriormente, la capa límite es una zona delgada junto a una pared en la que están confinados los efectos viscosos en flujos con elevados números de Reynolds. En ella las fuerzas de inercia y las debidas a la viscosidad son del mismo orden.

Cuando el número de Reynolds basado en el espesor de la capa límite y en la velocidad exterior supera un cierto valor, la capa límite se hace inestable y se produce la transición a la turbulencia. El número de Reynolds de transición depende del gradiente de presión reducida (la capa límite es más estable si el gradiente de presión reducida es positivo y elevado); del nivel de turbulencia de la corriente exterior (un nivel alto favorece la transición); de la rugosidad de la pared (una rugosidad elevada favorece la transición), y de otros factores tales como la succión de la capa límite, fenómenos de transmisión de calor, etc. En una placa plana lisa, con un nivel de turbulencia en el flujo exterior del 1%, la transición se produce para un valor de Re$=u_e\delta/\nu\simeq 1000$ ($u_e$ es la velocidad de la corriente exterior y $\delta$ el espesor de desplazamiento). La capa límite turbulenta se caracteriza por ser más gruesa y dar lugar a tensiones cortantes mayores que la capa límite laminar.

Cuando la capa límite permanece adherida a la pared, es posible tratar el flujo utilizando ecuaciones apropiadas para describir el movimiento en la capa límite y las ecuaciones de Euler en el exterior de ésta.

En esta sección se presentarán las ecuaciones simplificadas que permiten describir el flujo en la capa límite, así como otros flujos en los que se satisfagan las condiciones de aplicabilidad que se indicarán en lo que sigue. Las ecuaciones de conservación de partida serán las correspondientes a un flujo bidimensional, estacionario y laminar, de un fluido incompresible con viscosidad constante (se supondrá que las fuerzas másicas derivan de un potencial, y se utilizará la presión reducida, en lugar de la presión, como variable dependiente):

$$\frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial v}{\partial y}=0,$$ (5.115)

$$\frac{\partial u}{\partial t} + u \frac{\partial u}{\partial x} ... ...t(\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2}\right),$$ (5.116)

$$\frac{\partial v}{\partial t} + u \frac{\partial v}{\partial x} ... ...t(\frac{\partial^2 v}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 v}{\partial y^2}\right).$$ (5.117)

La coordenada $y$ es perpendicular a la pared. Las ecuaciones para la capa límite turbulenta pueden deducirse a partir de las ecuaciones (5.96) y (5.97) utilizando consideraciones análogas a las que se presentan a continuación para la capa límite laminar.

En la capa límite la velocidad varía desde un valor nulo en la pared (en una pared en reposo) hasta un cierto valor característico de un flujo ideal en el exterior de la capa límite. Si el espesor de la capa límite (a lo largo del cual se produce dicha variación de velocidad) se supone muy pequeño frente a la longitud característica paralela a la pared en la que la velocidad del fluido varía apreciablemente, mediante estimación de órdenes de magnitud en las ecuaciones se deduce fácilmente que las ecuaciones (5.115) a (5.117) pueden simplificarse y adoptar la siguiente forma aproximada (véase, por ejemplo, Liñán, 1967; Crespo, 1997; Batchelor, 1967):

$$\frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial v}{\partial y}=0,$$ (5.118)

$$\frac{\partial u}{\partial t} + u \frac{\partial u}{\partial x} ... ...{\rho}\frac{\mbox{d} p_e}{\mbox{d} x} = \nu \frac{\partial^2 u}{\partial y^2},$$ (5.119)

$$\frac{\partial p}{\partial y} = 0.$$ (5.120)

Obsérvese que en la ecuación (5.119) se ha despreciado el término de difusión en la dirección del flujo y que la ecuación de conservación de la cantidad de movimiento según $y$ ha quedado reducida a la condición de la que las variaciones transversales de presión reducida son nulas. La presión $p_e$ es la presión reducida en el exterior de la capa límite, que en principio puede determinarse a partir de la solución del problema de flujo ideal en el exterior de la capa límite. La ecuación de Bernoulli en el flujo exterior es

$$p_e + \frac{1}{2} \rho u_e^2 = ,$$ (5.121)

siendo $u_e$ la componente $u$ de la velocidad en el exterior de la capa límite, o la velocidad de deslizamiento de un fluido ideal sobre la pared. Derivando la ecuación (5.121), resulta

$$\frac{\mbox{d}p_e}{\mbox{d}x} = -\rho u_e \frac{\mbox{d}u_e}{\mbox{d}x}.$$ (5.122)

Como consecuencia de la eliminación del término $\partial^2 u/\partial x^2$, el carácter mixto elíptico/hiperbólico de las ecuaciones (5.115) a (5.117) pasa a ser parabólico/hiperbólico en las ecuaciones (5.118) a (5.120) de la capa límite, jugando en éstas la coordenada $x$ el papel que desempeña el tiempo en problemas no estacionarios, lo que permite obtener la solución siguiendo un procedimiento de avance según la coordenada $x$, tal como se explicará en la Sección 6.1. Por tanto, será necesario imponer una condición inicial

$$u(x_0,y)=u_0(y),$$ (5.123)

y condiciones de contorno,

$$\begin{split}u(x,0) & =0, v(x,0) & =0, u(x,\delta) & = u_e(x), \end{split}$$ (5.124)

siendo $\delta$ el espesor de la capa límite.

Como ya se ha indicado, el flujo no puede describirse mediante la aproximación de capa límite cuando se produce el fenómeno de desprendimiento, que se favorece tanto más cuanto mayor sea el gradiente de presión adversa en el flujo (aumento de presión en la dirección del flujo, lo que se da, por ejemplo, en la parte de aguas abajo de flujos alrededor de cuerpos romos o en conductos de sección divergente). El punto de desprendimiento en capas límite laminares depende de la geometría de las paredes, y no de la viscosidad (es decir, no depende del número de Reynolds). Sin embargo, al producirse la transición de capa límite laminar a turbulenta el punto de desprendimiento se retrasa hacia zonas situadas más aguas abajo en el flujo.

Existen otros tipos de aproximaciones (aproximación de capa de cortadura delgada (``TSL''), y la que conduce a ecuaciones de Navier-Stokes ``parabolizadas''), relacionadas con la aproximación de capa límite aunque menos restrictivas que ésta, cuya descripción puede consultarse, por ejemplo, en el texto de Hirsch (1988).