Fuerzas de superficie. Tensor de tensiones

La fuerza de superficie que ejerce el fluido situado a un lado de un elemento de superficie d$S$ sobre el fluido situado al otro lado (Figura 1.2), puede expresarse de la forma siguiente:

   d$$\vec{F}_{s}=\vec{f}_{s}$$d$$S,$$

siendo $\vec{f}_{s}(\vec{x},t,\vec{n})$ una función vectorial de la posición y orientación del elemento de superficie y del tiempo, que determina la fuerza por unidad de área. La orientación del elemento de superficie está determinada por el vector unitario normal $\vec{n}$. En lo que sigue se adoptará el criterio de que $\vec{f}_{s}$ es ejercida por el fluido que está del lado del elemento de superficie al que apunta $\vec{n}$ sobre el fluido del otro lado. La fuerza de superficie resultante que actúa a través de la superficie $S$ sobre el fluido encerrado por ésta se obtiene integrando:

$$\vec{F}_{s}=\int_{S}\vec{f}_{s}$$d$$S.$$

Se demuestra fácilmente (véase, por ejemplo, Liñán, 1967; Crespo, 1997; Batchelor, 1967) que el vector fuerza por unidad de área puede expresarse de la forma siguiente:

$$\begin{Bmatrix}f_{s1} f_{s2} f_{s3} \end{Bmatrix}= \begin{b... ...& \tau_{33} \end{bmatrix} \begin{Bmatrix}n_{1} n_{2} n_{3} \end{Bmatrix},$$ (1.2)

o bien, en notación de subíndices,

$$f_{si}=\tau_{ij}n_{j}.$$ (1.3)

La ecuación (1.2), en la que obsérvese que queda descrita la dependencia de $\vec{f}_{s}$ con respecto a $\vec{n}$, puede expresarse también como sigue:

$$\vec{f}_{s}(\vec{x},t,\vec{n})=\vec{\tau}(\vec{x},t)\cdot\vec{n}.$$ (1.4)

Obviamente, $\vec{f}_{s}$ y $\vec{n}$ no dependen de la elección del sistema de referencia, y por tanto $\tau_{ij}$ debe ser la componente $ij$ de un tensor, denominado tensor de tensiones, que denotaremos por $\vec{\mathbf\tau}$. $\tau_{ij}=\tau_{ij}(\vec{x},t)$ es la componente en dirección de $\vec{e}_{i}$ de la fuerza por unidad de área que dos elementos de fluido se ejercen a través de un elemento de superficie que les separa de vector unitario normal $\vec{e}_{j}$.^1.8

Obsérvese que $\vec{f}_{s}(\vec{n})=-\vec{f}_{s}(-\vec{n})$. Es fácil también demostrar que el tensor de tensiones debe ser simétrico ( $\tau_{ij}=\tau_{ji}$), y que sólo tiene, por tanto, seis componentes independientes. Cada una de las tres componentes de la diagonal principal del tensor $\vec{\tau}$ representa la componente normal de la fuerza de superficie por unidad de área que actúa a través de un elemento de superficie paralelo a cada uno de los planos de coordenadas, por lo que se denominan tensiones normales. Las restantes componentes se denominan tensiones tangenciales o, muy frecuentemente en mecánica de fluidos, tensiones o esfuerzos cortantes, al dar lugar a deformaciones continuas en el fluido como la que se produce en el flujo de la Figura 1.1. Es importante tener en cuenta que siempre es posible encontrar en cada punto $\vec{x}$ un sistema ortogonal de ejes de referencia (ejes principales del tensor) en el que se anulan las componentes del tensor no contenidas en la diagonal principal,^1.9

$$\vec{\tau}= \begin{bmatrix}\tau^{*}_{11} & 0 & 0 0 & \tau^{*}_{22} & 0 0 & 0 & \tau^{*}_{33} \end{bmatrix}.$$ (1.5)

Por tanto, el estado general de tensiones de un fluido en un punto puede contemplarse como una superposición de tensiones normales (tensiones principales) en tres direcciones ortogonales determinadas.