Flujos con efectos de viscosidad dominantes

La presencia del término convectivo, no lineal, $\vec{v}\cdot\vec{\nabla}\vec{v}$, en la ecuación de conservación de la cantidad de movimiento introduce una gran dificultad en la resolución de las ecuaciones de conservación. En algunos problemas de interés dicho término es pequeño, y si el flujo es además estacionario, o en todo caso $\partial \vec{v}/\partial t$ es también suficientemente pequeño, puede ser aceptable la aproximación que supone despreciar el término de inercia que aparece en el primer miembro de la ecuación de conservación de la cantidad de movimiento frente a los términos debidos a la presión y a las fuerzas debidas a la viscosidad. En lo que sigue supondremos además que el fluido es incompresible y de viscosidad uniforme. La ecuación (5.39),

$$\rho\left(\frac{\partial \vec{v}}{\partial t} + \vec{v}\cdot\vec{\nabla}\vec{v}\right) = -\vec{\nabla}p + \mu\nabla^2\vec{v}+ \rho\vec{f}_m,$$ (5.76)

queda por tanto de la forma siguiente:

$$\vec{\nabla}p = \mu\nabla^2\vec{v},$$ (5.77)

donde, tal como se ha hecho en alguna ocasión anterior, se ha supuesto que las fuerzas másicas derivan de un potencial y $p$ se ha redefinido como presión reducida (véase la ecuación (5.42)). La ecuación de conservación de la masa es obviamente

$$\vec{\nabla}\cdot\vec{v}=0.$$ (5.78)

La aproximación introducida en la ecuación (5.77) al despreciar las fuerzas de inercia frente a las debidas a la viscosidad puede ser aceptable si el número de Reynolds es suficientemente pequeño:^5.19

$$\ll 1.$$ (5.79)

Si en las condiciones de contorno que especifican la causa que genera el movimiento del fluido sólo interviene $\vec{v}$, el problema se reduce a resolver las ecuaciones

$$\vec{\nabla}\cdot\vec{v}=0,\;\;\; \nabla^2(\vec{\nabla}\wedge\vec{v})=0.$$ (5.80)

La segunda igualdad en la ecuación (5.80) se obtiene tomando el rotacional de la ecuación (5.77).^5.20Obsérvese que la distribución de $\vec{v}$ no dependerá de $\mu$. La distribución de presión puede obtenerse a partir de la ecuación (5.77).

Si las condiciones de contorno que especifican la causa que genera el movimiento del fluido se imponen sólo sobre $p$, el problema se reduce a resolver la ecuación

$$\nabla^2p=0$$ (5.81)

(que se deduce tomando la divergencia en la ecuación (5.77)). Obsérvese que la distribución de $p$ no dependerá de $\mu$. La distribución de velocidad se deduce a partir de la ecuación (5.77), teniendo en cuenta la ecuación (5.78).

Debe tenerse en cuenta que el término $\vec{v}\cdot\vec{\nabla}\vec{v}$ puede ser despreciable en la ecuación (5.76) no solamente cuando Re$\ll 1$. Por ejemplo, en un flujo de un fluido de densidad $\rho$ y viscosidad $\mu$ que circula con velocidad media $V$ a través de un conducto de longitud $L$ y sección de paso de tamaño $D$, es fácil demostrar^5.21 que el término convectivo es despreciable si se satisface la condición

$$\frac{\rho VD}{\mu}\frac{D}{L} = \frac{D}{L} \ll 1.$$ (5.82)

Obsérvese que esta condición puede satisfacerse aun siendo Re de orden unidad, o incluso muy superior,^5.22 si $D$ es suficientemente pequeño frente a $L$. Es decir, la unidireccionalidad del flujo, favorecida con valores pequeños de la relación $D/L$, contribuye a que se satisfagan las condiciones necesarias para que los efectos de viscosidad sean dominantes. Se hará referencia a continuación a algunos ejemplos sencillos de flujos estacionarios y laminares de fluidos incompresibles, con efectos de viscosidad dominantes. Los dos primeros, flujos de Couette y de Hagen-Poiseuille, son flujos unidireccionales (se supondrá que según la dirección de la coordenada $x$). En estos flujos, el gradiente de presión reducida no tiene componentes en dirección transversal al flujo y la componente en la dirección del flujo, si existe, es constante, de forma que la presión reducida varía linealmente con $x$.^5.23

hit counter