Condiciones iniciales y de contorno

En esta sección, una vez realizada la discusión de la Sección 6.1 sobre el carácter y algunas propiedades de los distintos tipos de ecuaciones que aparecen en mecánica de fluidos, se ampliarán algunos comentarios realizados en la Sección 3.5.1.

Las ecuaciones de conservación junto con las condiciones iniciales y de contorno correspondientes constituyen un problema matemáticamente ``bien puesto'' si la solución existe, es única y depende de forma continua de las condiciones auxiliares (iniciales y de contorno) . La cuestión de la existencia no suele plantear dificultades. En cuanto a las causas de no unicidad, suelen deberse a una falta de adaptación de las condiciones iniciales y de contorno al tipo de ecuaciones de conservación, como ya se mencionó anteriormente. También se ha indicado ya que para las ecuaciones de Navier-Stokes, aunque las condiciones de contorno apropiadas en superficies sólidas sean conocidas, existe cierta flexibilidad en la imposición de condiciones en contornos ``alejados''. La carencia de condiciones de contorno suficientes da lugar a falta de unicidad en la solución, mientras que la imposición de más condiciones de las necesarias hace que la solución pierda sentido físico en la proximidad del contorno en cuestión. En cuanto a la dependencia continua de las condiciones auxiliares, ésta requiere que una pequeña variación en las condiciones iniciales y de contorno dé lugar a una pequeña variación en la solución; dado que las condiciones auxiliares se introducen de forma aproximada en cualquier algoritmo de cálculo, si no se cumple esta condición los errores introducidos en la condiciones auxiliares se propagan al interior del dominio de cálculo, haciendo que la solución crezca rápidamente, particularmente en ecuaciones de tipo hiperbólico.

Paralelamente, se podría decir que un procedimiento computacional está ``bien puesto'' si la solución numérica existe, es única y depende de forma continua de las condiciones auxiliares aproximadas. Para ello es necesario que el problema matemático planteado sea ``bien puesto'' y el algoritmo utilizado sea estable.

Si no distinguimos entre las variables independientes espacio y tiempo, y consideramos que las condiciones auxiliares se imponen sobre $\Gamma$, podríamos decir que dichas condiciones auxiliares son ``extrapoladas'' por el algoritmo de cálculo (basado en las ecuaciones de conservación) para proporcionar la solución sobre el interior del dominio, $\Omega$. Cada tipo de ecuación en derivadas parciales requiere diferentes condiciones iniciales y de contorno, y cuando el carácter de una ecuación cambia de unas regiones a otras del dominio de cálculo, las condiciones de contorno deben elegirse teniendo en cuenta el carácter de la ecuación en la zona adyacente al contorno. En la mayoría de los flujos que requieren la resolución de las ecuaciones de Navier-Stokes en variables primitivas,^6.1 se conoce al menos una componente de la velocidad en un contorno de flujo entrante, lo que proporciona una condición de contorno de tipo Dirichlet para la velocidad. La mezcla de condiciones de contorno de tipo Dirichlet y Neumann no suele ser frecuente en mecánica de fluidos, pero ocurre en problemas de transmisión convectiva de calor.

Las condiciones de contorno pueden básicamente ser de tres tipos:

• Condiciones de tipo Dirichlet, con las que se fija el valor de las variables dependientes en el contorno.
• Condiciones de tipo Neumann, con las que se fija el valor de las derivadas de las variables dependientes en el contorno.
• Condiciones de tipo mixto, o de Robin, que son combinaciones de las anteriores.

En la mayoría de los flujos que requieren la resolución de las ecuaciones de Navier-Stokes en variables primitivas,^6.2 se conoce al menos una componente de la velocidad en un contorno de flujo entrante, lo que proporciona una condición de contorno de tipo Dirichlet para la velocidad. La mezcla de condiciones de contorno de tipo Dirichlet y Neumann no suele ser frecuente en mecánica de fluidos, pero puede darse en problemas de transmisión convectiva de calor.

En problemas con dos variables independientes (tiempo y coordenada espacial, o dos coordenadas espaciales), para ecuaciones hiperbólicas el número de condiciones auxiliares que deben imponerse es igual al número de líneas características que apuntan desde el contorno hacia el interior del dominio. Para ecuaciones parabólicas, deben imponerse condiciones ``iniciales'' de tipo Dirichlet, y en cada punto del contorno (dos líneas a las que corta la única característica), una condición de cualquiera de los tres tipos antes indicados. Al imponer condiciones de tipo Dirichlet en el contorno, debe garantizarse la continuidad con las condiciones iniciales en el contorno. Para ecuaciones elípticas, deben imponerse condiciones en todo el contorno, que pueden ser de cualquiera de los tres tipos anteriores. Si se impone una condición de tipo Neumann en todo el contorno, la especificación debe ser consistente con las ecuaciones de conservación. Por ejemplo, en un flujo potencial incompresible, una condición que especifique un valor uniforme en todo el contorno de la derivada del potencial de velocidad en dirección normal al contorno (es decir, una velocidad normal uniforme), no es consistente con la ecuación de conservación de la masa.