Ecuación de conservación de la energía mecánica

La ecuación de conservación de la energía mecánica puede obtenerse multiplicando escalarmente por $\vec{v}$ la ecuación de conservación de la cantidad de movimiento

$$\rho \frac{\partial\vec{v}}{\partial t}+\rho\vec{v}\cdot\vec{\nabla}\vec{v}=\vec{\nabla}\cdot\vec{\tau}+ \rho\vec{f}_{m}.$$ (3.53)

Teniendo en cuenta la identidad vectorial de la ecuación (3.40),

$$\vec{v}\cdot\vec{\nabla}{\vec{v}}={\textstyle\frac{1}{2}}\vec{\nabla}(v^2)-\vec{v}\wedge (\vec{\nabla}\wedge\vec{v}),$$ (3.54)

se obtiene

$$\rho \vec{v}\cdot\frac{\partial\vec{v}}{\partial t}+\rho\vec{v}\c... ...ots])}=\vec{v}\cdot (\vec{\nabla}\cdot\vec{\tau})+ \rho\vec{v}\cdot\vec{f}_{m},$$ (3.55)

que puede escribirse de la forma siguiente:

$$\boxed{\rho \frac{\mbox{D}}{\mbox{D} t}({\textstyle\frac{1}{2}}v... ...vec {v}\cdot (\vec {\nabla}\cdot \vec {\tau})+ \rho\vec {v}\cdot \vec {f}_{m}.}$$ (3.56)

Debe observarse que la ecuación (3.56) no expresa un nuevo principio de conservación, sino que se ha deducido directamente de la ecuación de conservación de la cantidad de movimiento.