Derivadas temporales de integrales extendidas a volúmenes fluidos

En este capítulo se utilizará frecuentemente el concepto de volumen fluido (o sistema material). Un volumen fluido es cualquier porción de fluido separada del resto por una superficie fluida^3.1 cerrada, y por tanto está constituido en todo momento por las mismas partículas fluidas.^3.2 Un volumen fluido es, por tanto, un volumen material, de forma análoga a como una superficie fluida es una superficie material. Durante el movimiento, el volumen fluido cambia de forma y va ocupando diferentes regiones del espacio. En sucesivos instantes, el volumen de la región ocupada por el volumen fluido se denotará con $V_{f}(t)$. La masa del volumen fluido, que obviamente permanecerá constante en el tiempo, es

$$M_f=\int_{V_{f}}\rho(\vec{x},t) V.$$ (3.1)

Análogamente, si $\mathcal{F}(\vec{x},t)$ es una función continua que define en cada punto e instante una magnitud cualquiera por unidad de volumen (p. ej., la energía interna por unidad de volumen, $\rho e$, o la cantidad de movimiento por unidad de volumen, $\rho \vec{v}$), la correspondiente magnitud^3.3 asociada al volumen fluido $V_{f}$ es

$$F_f(t)=\int_{V_{f}(t)}\mathcal{F}(\vec{x},t) V.$$ (3.2)

En las secciones siguientes, en las que se introducirán las ecuaciones que expresan los principios de conservación que describen el movimiento de los fluidos, será necesario hacer uso de la derivada material d$F_f/$d$t$. Dado que la integral de la ecuación (3.2) está extendida a un volumen variable en el tiempo, $V_f(t)$, no es posible introducir el operador derivada dentro de la integral y aplicarlo sólo al integrando. Si $V$ es el volumen geométrico fijo (volumen de control) que ocupa el volumen fluido en el instante en el que se expresa la derivada, es fácil deducir,^3.4mediante consideraciones puramente cinemáticas,

$$\frac{\mbox{d}F_f}{\mbox{d}t}=\frac{\mbox{d}}{\mbox{d}t} \int_{V_... ...}{\partial t} \mbox{d}V + \int_{S} \mathcal{F} \vec{v}\cdot\vec{n} \mbox{d}S,$$ (3.3)

siendo $S$ la superficie cerrada que limita $V$. La ecuación (3.3) expresa el denominado teorema del transporte de Reynolds, y los dos términos del último miembro pueden interpretarse fácilmente: el primero representa la variación en el tiempo que experimenta la magnitud $F$ en el volumen fijo $V$, y el segundo, el flujo neto saliente de $F$ a través de la superficie fija $S$.