Transporte de masa por difusión. Ley de Fick

Para simplificar, supondremos un fluido constituido por dos especies químicas, A y B. Si la distribución de concentraciones de estas especies (fracciones másicas $Y_{A}$ e $Y_{B}$, siendo obviamente $Y_A+Y_B=1$) no es uniforme, se producirán flujos másicos de ambas especies que tenderán a homogeneizar la composición. La difusión de masa de, por ejemplo, la especie A puede asociarse a un vector flujo de masa por unidad de área, función de la posición y del tiempo, $\vec{f}_A(\vec{x},t)$ (con unidades de masa por unidad de área y de tiempo). La masa de la especie A que se difunde por unidad de tiempo a través de un elemento de superficie d$S$, con vector unitario normal $\vec{n}$, es

$$\dot{M}_{DA}=\vec{f}_{A}\cdot\vec{n} S.$$ (1.36)

Si se considera la superficie cerrada $S$ de la Figura 1.4,

Figura 1.4:

la masa neta de A que sale por difusión del fluido contenido en ella vendrá dada por

$$\dot{M}_{DA}=\int_{S}\vec{f}_{A}\cdot\vec{n} S.$$ (1.37)

El vector flujo de masa por unidad de área puede describirse generalmente mediante la ley de Fick:

$$f_{Ai}=\rho D_{Aij} \frac{\partial Y_{A}}{\partial x_{j}},$$ (1.38)

donde $D_{Aij}$ es un tensor de difusividad másica de la especie A, que en medios isótropos es diagonal:

$$D_{Aij}=-D_A\delta_{ij}.$$ (1.39)

En este último caso, la ecuación (1.38) se reduce a

$$\vec{f}_A=-\rho D_A \vec{\nabla}Y_{A},$$ (1.40)

o, en notación de subíndices,

$$f_{Ai}=-\rho D_A \frac{\partial Y_A}{\partial x_{i}}.$$ (1.41)

siendo $D_A$ la difusividad de la especie A en el medio. El signo menos indica que la masa se difunde desde las zonas de mayor concentración hacia las de menor concentración.

En fluidos de más de dos componentes, el vector flujo de masa por unidad de área de una especie no sólo depende del gradiente de la concentración de dicha especie, sino también de los de otras especies. La siguiente es una expresión aproximada, que es más adecuada cuando todas las especies tienen difusividades y pesos moleculares similares, o cuando la especie que se difunde está en pequeña proporción:

$$\vec{f}_{i}=-\rho D_{im} \vec{\nabla}Y_{i},\;\;\; i=1,\ldots , N,$$ (1.42)

siendo $N$ el número de especies y $D_{im}$ el coeficiente de difusión de la especie $i$ en la mezcla compuesta por las restantes especies.

La difusividad másica, que es mucho menor en líquidos que en gases, depende de la temperatura (aumenta con ella), la presión (disminuye al aumentar ésta) y las especies presentes en la mezcla (disminuye al aumentar el peso molecular de la especie que se difunde).