Circulación. Movimientos irrotacionales

La circulación del vector velocidad a lo largo de una línea $L$ definida en el seno de un fluido se define como

$$\Gamma=\int_L \vec{v}\cdot\vec{\mbox{d}l}.$$ (2.22)

Cuando la línea $L$ es cerrada, aplicando el teorema de Stokes resulta

$$\Gamma=\oint_L \vec{v}\cdot\vec{\mbox{d}l}=\int_S (\vec{\nabla}\wedge\vec{v})\cdot\vec{n} \mbox{d}S,$$ (2.23)

siendo $S$ una superficie cualquiera que se apoya en $L$ y $\vec{n}$ el vector unitario normal a cada elemento de superficie, con sentido positivo hacia el lado de la superficie desde el que se ve recorrer la línea $L$ en el sentido opuesto al de las agujas del reloj. Es importante destacar que $\vec{v}$ debe estar definida y ser continua en un dominio que contenga $S$.

Si la circulación a lo largo de cualquier línea cerrada es nula, el vector vorticidad, $\vec{\nabla}\wedge\vec{v}$, es nulo en todo el campo fluido, como resulta obvio si se toma una línea cerrada tan pequeña como se quiera alrededor de cada punto y se aplica la ecuación (2.23). El recíproco ( $\vec{\nabla}\wedge\vec{v}=0 \Rightarrow \Gamma=0$) es en general cierto sólo si el dominio en el que tiene lugar el flujo es simplemente conexo. Un dominio es simplemente conexo si es posible encontrar, para cualquier línea cerrada $L$, una superficie que se apoye en $L$ y esté íntegramente contenida en el campo fluido. No es simplemente conexo, por ejemplo, el campo fluido alrededor de una superficie toroidal. En un movimiento plano, no es simplemente conexo un campo fluido que contenga un sólido inmerso.

Como se verá más adelante, a los flujos en los $\vec{\nabla}\wedge\vec{v}=0$ se les denomina flujos irrotacionales.

Es fácil demostrar que la derivada temporal de la circulación a lo largo de una línea fluida cerrada^2.11 $L(t)$ es igual a la circulación de la aceleración a lo largo de $L(t)$:

$$\frac{\mbox{d}}{\mbox{d}t}\oint_{L(t)} \vec{v}\cdot\vec{\mbox{d}l}=\oint_{L(t)} \frac{\mbox{D}\vec{v}}{\mbox{D}t}\cdot\vec{\mbox{d}l}.$$ (2.24)

Si la aceleración deriva de un potencial, se deduce de esta expresión que su circulación es nula, y, por tanto, que la derivada temporal de la circulación de la velocidad a lo largo de cualquier línea fluida cerrada es nula. Esto quiere decir que, si el flujo es inicialmente irrotacional, seguirá siéndolo en todo instante. Es interesante, por tanto, conocer en qué condiciones la aceleración deriva de un potencial,^2.12 pero para ello será necesario deducir antes la ecuación de conservación de la cantidad de movimiento, lo que se hará en la Sección 3.3.