Caso unidimensional

Se considerará en esta sección la siguiente ecuación diferencial:

$$\boxed{L(u^{*})=\frac{\mbox{d}} {\mbox{d}x}\left(\lambda \frac{\mbox{d}u^{*}}{\mbox{d}x}\right)+{Q}=0,}$$ (6.28)

que se satisface en $0\leq x\leq X$, con las condiciones de contorno

$$u^{*}(0)=\tilde{u}_{0}$$ (6.29)

y

$$\lambda \frac{\mbox{d}u^{*}}{\mbox{d}x}(X)={q}.$$ (6.30)

La ecuación (6.28) coincide con la forma estacionaria y unidimensional de la ecuación (5.44), de la que además se ha eliminado el término convectivo, y es también equivalente a la ecuación (5.85) si $\lambda$ (que sería en este caso la viscosidad del fluido) se supone uniforme y $Q$ es el gradiente de presión reducida. En estos dos casos citados, las condiciones de contorno de las ecuaciones (6.29) y (6.30) equivalen, respectivamente, a fijar la temperatura o la velocidad en $x=0$, y un flujo de calor por unidad de área o una tensión cortante en $x=X$.

En muchos problemas no es conveniente utilizar como solución aproximada una función, como la de la ecuación (6.23), que satisfaga las condiciones de contorno. Si la solución aproximada se expresa mediante la ecuación (6.23) con $\tilde{u}_c=0$, no sólo existirá un residuo de la solución aproximada respecto de la ecuación en derivadas parciales (6.28), sino también respecto de las condiciones de contorno. Los residuos correspondientes a las condiciones de contorno son

$$\protect{\mathcal{R}}_{0}=\tilde{u}(0)-\tilde{u}_{0}$$ (6.31)

y

$$\protect{\mathcal{R}}_{1}=\lambda \frac{\mbox{d}\tilde{u}}{\mbox{d}x}(X) - {q}.$$ (6.32)

La ecuación equivalente a la ecuación (6.25), en la que se introducen funciones de ponderación adicionales en el contorno, es ahora

$$\int_{\Omega}W_{\ell}\protect{\mathcal{R}} \Omega + \int_{\Gamma_{0}}W_{\ell}^{0}\protect{\mathcal{R}}_{ 0} \Gamma + \int_{\Gamma_{1}}W_{\ell}^{1}\protect{\mathcal{R}}_{ 1} \Gamma=0.$$ (6.33)

Dado que el número de grados de libertad de la solución aproximada de la ecuación (6.23) es $M$, puede elegirse un número $M$ de funciones de ponderación independientes $W_{\ell}$, mientras que $W_{\ell}^{0}$ y $W_{\ell}^{1}$ serán dependientes de $W_{\ell}$.

Para el problema descrito por la ecuación (6.28), la ecuación (6.33) resulta

$$\int_{0}^{X}W_{\ell}\left[\frac{\mbox{d}}{\mbox{d}x} \left(\lambd... ...W_{\ell}^{1}\left[\lambda \frac{\mbox{d}\tilde{u}}{\mbox{d}x}(X)-{q}\right]=0,$$ (6.34)

y las funciones de ponderación en el contorno se reducen a los dos únicos factores $W_{\ell}^{0}$ y $W_{\ell}^{1}$.

Integrando por partes el primer término de la ecuación (6.34), tomando

$$\xi=W_{\ell},\;$$   d$$\zeta=\frac{\mbox{d}}{\mbox{d}x}\left(\lambda \frac{\mbox{d}\tilde{u}}{\mbox{d}x} \right) \mbox{d}x,$$

con lo que

   d$$\xi=\frac{\mbox{d}W_{\ell}}{\mbox{d}x} \mbox{d}x,\; \zeta=\lambda \frac{\mbox{d}\tilde{u}}{\mbox{d}x},$$

se obtiene

$$\begin{split} \int_{0}^{X}W_{\ell}\frac{\mbox{d}}{\mbox{d}x}... ...}x}\frac{\mbox{d}\tilde{u}}{\mbox{d}x} \mbox{d}x, \end{split}$$

con lo que la ecuación (6.34) resulta

$$\begin{split}\left. W_{\ell}\lambda \frac{\mbox{d}\tilde{u}}... ...rac{\mbox{d}\tilde{u}} {\mbox{d}x}(X)-{q}\right]=0. \end{split}$$ (6.35)

Suponiendo que $W_{\ell}^{1}=-W_{\ell}(X)$, se obtiene

$$\begin{split}-W_{\ell}(0)\lambda \frac{\mbox{d}\tilde{u}}{\m... ...{0}[\tilde{u}(0)-\tilde{u}_{0}] + W_{\ell}(X){q}=0, \end{split}$$ (6.36)

y si la condición de contorno de tipo Dirichlet puede imponerse sobre la solución aproximada, $W_{\ell}(0)$ y $W_{\ell}^{0}$ pueden entonces elegirse iguales a cero, de forma que la ecuación anterior se simplifica, quedando

$$\boxed{-\int_{0}^{X}\lambda \frac{\mbox{d}W_{\ell}}{\mbox{d}x}\f... ...box{d}x} \mbox{d}x + \int_{0}^{X}W_{\ell}{Q} \mbox{d}x + W_{\ell}(X){q}=0,}$$ (6.37)

sujeta a las condiciones de contorno

$$\begin{split}\tilde{u}(0)=\tilde{u}_{0}, W_{\ell}(0)=0.\end{split}$$ (6.38)

La ecuación (6.37) corresponde a la denominada formulación débil.