Generalizando lo anterior a un problema multidimensional, es decir, considerando la siguiente ecuación en lugar de la ecuación (6.28):
La formulación débil expresada en las ecuaciones (6.42),
(6.43) y (6.44) no es estrictamente equivalente
a la formulación fuerte expresada por las ecuaciones
(6.39), (6.40) y (6.41), incluso para
. Aunque cualquier solución de la segunda
satisface la primera, el inverso no es cierto. La denominación de
formulación débil se debe a que dicha formulación permite
soluciones con un grado más bajo de regularidad. Por ejemplo, la
solución de la ecuación (6.39) con las condiciones
(6.40) y (6.41) debe tener derivadas primeras
continuas (grado de regularidad
), mientras que la
correspondiente formulación débil sólo requiere continuidad de la
función misma (grado de regularidad
); es decir, la
formulación débil permite soluciones con discontinuidades en las
derivadas primeras. Precisamente esto es deseable en problemas de
mecánica de fluidos. Obsérvese asimismo que la reducción del grado
de regularidad requerido en la solución va acompañada de un
aumento en el grado de regularidad necesario
en las funciones de ponderación.
Como se observa, en la formulación débil no es necesario imponer explícitamente en la solución las condiciones de contorno de tipo Neumann, que son introducidas de forma natural a través de la integración por partes en la formulación. Es por esto por lo que este tipo de condiciones de contorno son denominadas condiciones de contorno naturales. Las condiciones que deben ser impuestas de forma explícita en la formulación débil son denominadas condiciones de contorno esenciales.