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Caso multidimensional

Generalizando lo anterior a un problema multidimensional, es decir, considerando la siguiente ecuación en lugar de la ecuación (6.28):

$\displaystyle \boxed{\vec {\nabla}\cdot (\lambda\vec {\nabla} u^{*})+{Q}=0,}$ (6.39)

que se satisface en el dominio $ \Omega$, con las condiciones de contorno

$\displaystyle u^{*}=\tilde{u}_{0}(\vec{x})\;\;$   en$\displaystyle \; \Gamma_{0},$ (6.40)

y

$\displaystyle \lambda\vec{\nabla}u^{*}\cdot\vec{n}={q}(\vec{x},  \tilde{u})\;\;$   en$\displaystyle \; \Gamma_{1},$ (6.41)

siendo $ \vec{n}$ el vector unitario normal al contorno $ \Gamma_1$, la correspondiente formulación débil está expresada por

$\displaystyle \boxed{-\int_{\Omega}\lambda\vec {\nabla}\tilde{u}\cdot \vec {\na...
...W_{\ell}{Q}  \mbox{d}\Omega + \int_{\Gamma_{1}}W_{\ell}{q} \mbox{d}\Gamma=0,}$ (6.42)

sujeta a las condiciones de contorno

$\displaystyle \tilde{u}=\tilde{u}_{0}(\vec{x})\;\;$   en$\displaystyle \; \Gamma_{0},$ (6.43)

y

$\displaystyle W_{\ell}=0\;\;$   en$\displaystyle \; \Gamma_{0}.$ (6.44)

La formulación débil expresada en las ecuaciones (6.42), (6.43) y (6.44) no es estrictamente equivalente a la formulación fuerte expresada por las ecuaciones (6.39), (6.40) y (6.41), incluso para $ M\rightarrow\infty$. Aunque cualquier solución de la segunda satisface la primera, el inverso no es cierto. La denominación de formulación débil se debe a que dicha formulación permite soluciones con un grado más bajo de regularidad. Por ejemplo, la solución de la ecuación (6.39) con las condiciones (6.40) y (6.41) debe tener derivadas primeras continuas (grado de regularidad $ C^{1}$), mientras que la correspondiente formulación débil sólo requiere continuidad de la función misma (grado de regularidad $ C^{0}$); es decir, la formulación débil permite soluciones con discontinuidades en las derivadas primeras. Precisamente esto es deseable en problemas de mecánica de fluidos. Obsérvese asimismo que la reducción del grado de regularidad requerido en la solución va acompañada de un aumento en el grado de regularidad necesario en las funciones de ponderación.

Como se observa, en la formulación débil no es necesario imponer explícitamente en la solución las condiciones de contorno de tipo Neumann, que son introducidas de forma natural a través de la integración por partes en la formulación. Es por esto por lo que este tipo de condiciones de contorno son denominadas condiciones de contorno naturales. Las condiciones que deben ser impuestas de forma explícita en la formulación débil son denominadas condiciones de contorno esenciales.


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© 2000, 2001, Julio Hernández Rodríguez, ETSII, Universidad Nacional de Educación a Distancia, Madrid