Planteamiento de los métodos de residuos ponderados

La principal diferencia entre un MRP y los métodos de diferencias finitas consiste en que en aquéllos se supone que la solución puede ser representada analíticamente. Consideremos la ecuación en derivadas parciales para la variable $u$ representada por

$$L(u^{*})=0.$$ (6.22)

El asterisco denota la solución exacta. Supondremos que la siguiente es una solución aproximada de la ecuación (6.22):

$$\tilde{u}(x, y, z, t)=\tilde{u}_{c}(x, y, z, t) + \sum_{j=1}^{M} a_{j}(t)\phi_{j}(x, y, z),$$ (6.23)

donde $\tilde{u}_{c}(x, y, z, t)$ se ha elegido de forma que $\tilde{u}$ satisfaga las condiciones iniciales y de contorno, si es posible de forma exacta. Las funciones de aproximación $\phi_{j}(x, y, z)$ son conocidas. Los coeficientes $a_{j}(t)$ son desconocidos, y se trata de determinarlos resolviendo un sistema de ecuaciones aproximadas obtenido a partir de la ecuación (6.22). Si la ecuación (6.22) es estacionaria, dicho sistema será de ecuaciones algebraicas, y si es no estacionaria, las ecuaciones del sistema serán diferenciales ordinarias en el tiempo.

Al sustituir la solución aproximada de la ecuación (6.23) en la ecuación (6.22) se obtiene

$$L(\tilde{u})=\mathcal{R} ,$$ (6.24)

siendo $\mathcal{R}$ el residuo de la ecuación, que en general será una función continua $\protect{\mathcal{R}}=\protect{\mathcal{R}} (x, y, z, t)$. $\mathcal{R}$ es exactamente igual a cero si $\tilde{u}=u^{*}$, es decir, si $\tilde{u}$ es solución exacta. Haciendo $M$ suficientemente grande en la ecuación (6.23), los coeficientes $a_{j}(t)$ pueden en principio elegirse de forma que $\mathcal{R}$, que será una medida de la precisión de la solución aproximada, sea pequeño sobre todo el dominio de cálculo.

Cualquier algoritmo de resolución empleado para determinar los coeficientes $a_j$ convergerá si permite hacer tender $\mathcal{R}$ a cero, aunque no será posible alcanzar este valor mediante un número finito de operaciones. En el MRP se trata de obtener una solución adecuada (definida por el conjunto de los $M$ coeficientes $a_{j}(t)$) imponiendo que un número apropiado de integrales del residuo ponderado sobre el dominio de cálculo sean nulas:

$$\int_{\Omega}W_{\ell}(x, y, z)\protect{\mathcal{R}} x y z=0,$$ (6.25)

siendo $W_{\ell}$ las funciones de ponderación. Haciendo variar $\ell$ desde 1 hasta $M$, se obtiene un sistema de ecuaciones para los coeficientes $a_{j}(t)$. Si la solución aproximada converge a la solución exacta, la formulación de residuos ponderados de la ecuación (6.25) es, para $M\rightarrow\infty$, completamente equivalente a la formulación fuerte del problema expresada por la ecuación (6.22) y las correspondientes condiciones de contorno. Por tanto, para un valor finito de $M$ se obtendrá una solución aproximada.

Los distintos métodos que pertenecen a esta clase de métodos de residuos ponderados se obtienen eligiendo diferentes funciones de pesado $W_{\ell}$ (Fletcher, 1991).

En el método de los subdominios, el dominio de cálculo se divide en $M$ subdominios $D_{\ell}$, siendo $W_{\ell}=1$ en $D_{\ell}$ y $W_{\ell}=0$ fuera de $D_{\ell}$. Este método evalúa la integral de la ecuación (6.25) del mismo modo empleado en el método de volúmenes finitos.

En el método de colocación, $W_{\ell}(\vec{x}) =\delta(\vec{x}-\vec{x}_{\ell})$, siendo $\delta$ la delta de Dirac y $\vec{x}=(x, y, z)$. A partir de la ecuación (6.25) se deduce que este método es equivalente a hacer $\protect{\mathcal{R}} (\vec{x}_{\ell})=0$, lo que recuerda a los métodos de diferencias finitas, con la distinción de que en éstos no se utilizan funciones de aproximación.

En el método de mínimos cuadrados se toma $W_{\ell}=\partial \protect{\mathcal{R}}/\partial a_{\ell}$, con lo que la ecuación (6.25) resulta equivalente a la condición de que

$$\int_{\Omega}\protect{\mathcal{R}}^{2} x y z$$ (6.26)

sea mínima.

En el método de residuos ponderados de Galerkin, las funciones de ponderación se toman iguales a las funciones de aproximación, $W_{\ell}(x, y, z)=\phi_{\ell}(x, y, z)$. Si las funciones de aproximación forman un conjunto completo, la ecuación (6.25) expresa que el residuo es ortogonal a cualquier elemento del conjunto, por lo que, si se hace tender $M$ a infinito, la solución aproximada, $\tilde{u}$, convergerá a la solución exacta, $u^{*}$. Si se eligen, por ejemplo, polinomios como funciones de aproximación, un conjunto completo sería el siguiente: $1, x^{2}, x^{3},..., x^{M}$.

Obsérvese que por el momento no se está haciendo referencia directamente al método de los elementos finitos (MEF) de Galerkin, que será descrito en el siguiente capítulo como un caso particular del método de Galerkin de residuos ponderados que se acaba de describir. Antes de ello, vamos a hacer una breve referencia al método espectral de Galerkin, y a comentar su relación con el método de los residuos ponderados de Galerkin. El método espectral, a diferencia de los métodos de diferencias finitas, volúmenes finitos y elementos finitos, que son de tipo local, es de carácter global. Como en el método de residuos ponderados de Galerkin antes descrito, en el método espectral las funciones de aproximación y de ponderación son no nulas sobre todo el dominio de cálculo; por el contrario, el método de los elementos finitos, que, como se verá a continuación, identifica los coeficientes $a_{j}(t)$ con las incógnitas en los nodos de una malla de cálculo, es de carácter local. La principal diferencia del método espectral con el MRP de Galerkin consiste en que aquél utiliza funciones de aproximación y de ponderación ortogonales (series de Fourier, polinomios de Legendre, etc.):

$$\int_{\Omega}\phi_{\ell}(x, y, z)\phi_{j}(x, y, z) x y z \neq 0\; \; \ell=j$$

$$= 0\; \; \ell\neq j.$$ (6.27)

El método espectral, aunque más complicado, permite obtener, si la solución exacta es suficientemente suave, soluciones de alta precisión con un reducido número de términos en la solución aproximada.