Ecuación de Euler-Bernoulli

Introduciendo la identidad de la ecuación (3.40)

$$\vec{v}\cdot\vec{\nabla}{\vec{v}}={\textstyle\frac{1}{2}}\vec{\nabla}v^2 -\vec{v}\wedge (\vec{\nabla}\wedge\vec{v}),$$ (5.60)

en la ecuación (5.56),

$$\frac{\mbox{D}\vec{v}}{\mbox{D}t}= \frac{\partial\vec{v}}{\partia... ...+ \vec{v}\cdot\vec{\nabla}{\vec{v}} = -\frac{1}{\rho}\vec{\nabla}p + \vec{f}_m,$$ (5.61)

resulta

$$\frac{\partial\vec{v}}{\partial t} + {\textstyle\frac{1}{2}}\vec{... ...edge (\vec{\nabla}\wedge\vec{v}) + \frac{1}{\rho}\vec{\nabla}p - \vec{f}_m = 0.$$ (5.62)

Multiplicando escalarmente esta ecuación por el vector unitario $\vec{v}/\vert\vec{v}\vert$, paralelo al vector velocidad en cada punto, y teniendo en cuenta que $\vec{v}$ es perpendicular a $\vec{v}\wedge (\vec{\nabla}\wedge\vec{v})$, se obtiene

$$\frac{\partial v}{\partial t} + \frac{\partial(v^2/2)}{\partial \ell} + \frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial\ell} - f_{m\ell} = 0,$$ (5.63)

siendo $\ell$ la coordenada a lo largo de una línea de corriente. Si las fuerzas másicas derivan de un potencial ( $f_{m\ell}=-\partial U/\partial\ell$), de la ecuación anterior resulta finalmente la denominada ecuación de Euler-Bernoulli,

$$\boxed{\frac{\partial v}{\partial t} + \frac{\partial}{\partial \ell}(\frac{v^2}{2} + U) + \frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial\ell}= 0.}$$ (5.64)