Descripción del campo fluido. Derivada sustancial. Aceleración de una partícula fluida

Existen dos enfoques básicos para describir el campo fluido. En la descripción euleriana, las magnitudes fluidas, y en particular la velocidad del fluido,

$$\vec{v}=\vec{v}(\vec{x},t),$$

se especifican en todo punto (definido por el vector de posición $\vec{x}$) del dominio objeto de estudio y en todo instante $t$. En la descripción lagrangiana, las magnitudes fluidas no se refieren a una posición espacial y un instante determinados, sino a una partícula fluida,^2.1identificada por la posición $\vec{\xi}$ que ocupa en un instante dado $t_{0}$. La trayectoria de una partícula fluida, que determina la posición de la partícula en función del tiempo, vendrá definida por

$$\vec{x}=\vec{x}(\vec{\xi},t).$$ (2.1)

En el instante $t=t_0$ la partícula fluida se encuentra en la posición $\vec{\xi}$, y en un instante posterior $t$ se encuentra en $\vec{x}$. En lo que sigue en esta sección, y sin pérdida de generalidad, supondremos un valor fijo de $t_0$ (por ejemplo, $t_0=0$). Es usual denominar a las componentes de $\vec{\xi}=(\xi_1,\xi_2,\xi_3)$ coordenadas materiales o lagrangianas, y a las de $\vec{x}=(x_1,x_2,x_3)$, coordenadas eulerianas. A partir de la ecuación (2.1), puede escribirse^2.2

$$\vec{\xi}=\vec{\xi}(\vec{x},t),$$ (2.2)

que expresa las coordenadas lagrangianas de la partícula fluida que se encuentra en la posición $\vec{x}$ en el instante $t$.

La descripción lagrangiana de cualquier propiedad de la partícula fluida identificada por $\vec{\xi}$ en el instante $t$, $\mathcal{F}(\vec{\xi},t)$, puede transformarse en una descripción euleriana, $\mathcal{F}(\vec{x},t)$, mediante la ecuación (2.2):^2.3

$$\mathcal{F}(\vec{x},t)=\mathcal{F}[\vec{\xi}(\vec{x},t),t].$$ (2.3)

Paralelamente, la descripción lagrangiana puede deducirse de la euleriana mediante la ecuación (2.1):^2.4

$$\mathcal{F}(\vec{\xi},t)=\mathcal{F}[\vec{x}(\vec{\xi},t),t].$$ (2.4)

A estas descripciones se les asocia dos tipos de derivadas con respecto al tiempo:

• Derivada manteniendo constante $\vec{x}$ (derivada local), que proporciona el ritmo de variación de $\mathcal{F}$ que mediría en $\vec{x}$ un observador fijo:

  $$\frac{\partial}{\partial t}\equiv \left( \frac{\partial}{\partial t}\right)_{x}.$$ (2.5)

  
  

• Derivada manteniendo constante $\vec{\xi}$ (derivada sustancial o material), que proporciona el ritmo de variación de $\mathcal{F}$ que mediría un observador que se moviese con la partícula fluida identificada por $\vec{\xi}$:

  $$\frac{\mbox{D}}{\mbox{D}t}\equiv \left( \frac{\partial}{\partial t}\right)_{\xi}.$$ (2.6)

  
  

La velocidad de la partícula fluida puede expresarse por tanto de la forma siguiente:

$$\vec{v}=\frac{\mbox{d}\vec{x}}{\mbox{d}t}=\left[\frac{\partial \vec{x}(\vec{\xi},t)}{\partial t}\right]_{\xi},$$ (2.7)

o bien,

$$v_{i}=\frac{\mbox{d}x_{i}}{\mbox{d}t}=\left[\frac{\partial x_{i}(\vec{\xi},t)}{\partial t}\right]_{\xi}.$$ (2.8)

Esta última ecuación permite deducir una relación entre los dos tipos de derivada de las ecuaciones (2.5) y (2.6):

$$\begin{split}\frac{\mbox{D}\mathcal{F}}{\mbox{D}t}=\left[\fra... ...l x_{i}} + \frac{\partial \mathcal{F}}{\partial t}, \end{split}$$ (2.9)

que en notación vectorial se escribe de la forma siguiente:

$$\boxed{\frac{\mbox{D}\mathcal{F}}{\mbox{D}t}=\frac{\partial \mathcal{F}}{\partial t} + \vec {v}\cdot \vec {\nabla}\mathcal{F}.}$$ (2.10)

La aceleración de una partícula fluida es la derivada sustancial de la velocidad,

$$\boxed{\vec {a}=\frac{\mbox{D}\vec {v}}{\mbox{D}t}=\frac{\partial \vec {v}}{\partial t} + \vec {v}\cdot \vec {\nabla}\vec {v}.}$$ (2.11)

A $\partial \vec{v}/\partial t$ se le denomina aceleración local y a $\vec{v}\cdot\vec{\nabla}\vec{v}$, aceleración convectiva.

El operador derivada sustancial aparecerá frecuentemente en el Capítulo 3, en las ecuaciones diferenciales en derivadas parciales que expresan los principios de conservación.

Aunque algunos aspectos de la descripción lagrangiana serán útiles en capítulos posteriores, en mecánica de fluidos resulta generalmente más adecuado utilizar una descripción euleriana.^2.5