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Problemas de convección-difusión

Se va a considerar en esta sección un problema descrito por la ecuación (5.44) de conservación de la energía interna para flujos incompresibles,

$\displaystyle \rho c \frac{\partial T^{*}}{\partial t} + \rho c \vec{v}\cdot\vec{\nabla}T^{*} - \vec{\nabla}\cdot k\vec{\nabla}T^{*} - {Q}=0,$ (6.59)

con las condiciones de contorno

$\displaystyle k \vec{\nabla}T^{*}\cdot\vec{n}=h(a_{1}T_{\infty}-a_{2}T^{*})$ (6.60)

en una parte del contorno $ \Gamma_{1}$, y

$\displaystyle T^{*}=T_{0}(t)$ (6.61)

en el contorno $ \Gamma_{0}$, y con la condición inicial

$\displaystyle T^{*}=T_{i}(x,  y,  z)$ (6.62)

en $ t=0$. Se considera que la conductividad térmica y el calor específico pueden ser variables con la temperatura. Los parámetros $ {Q}$ y $ h$ pueden especificarse de forma arbitraria. La distribución de velocidad $ \vec{v}$ se considera también conocida. La ecuación (6.59) podría describir asimismo la conservación de especies o de otro escalar.

En cada elemento, se supone que la distribución de temperatura puede aproximarse mediante

$\displaystyle T_{e}=\vec{N}_{e}^{T}\vec{T}_{e},$ (6.63)

donde $ \vec{T}_{e}$ contiene las temperaturas en los nodos del elemento y $ \vec{N}_{e}$ es un vector de funciones de forma:

$\displaystyle \vec{T}_{e}=\begin{Bmatrix}T_{1e}  T_{2e}  \dots  T_{ne} \e...
...; \vec{N}_{e}=\begin{Bmatrix}N_{1e}  N_{2e}  \dots  N_{ne} \end{Bmatrix},$ (6.64)

siendo $ n$ el número de nodos por elemento. La derivada temporal es

$\displaystyle \frac{\partial T_{e}}{\partial t}=\vec{N}_{e}^{T}\vec{T}_{e}^{'},$ (6.65)

siendo $ \vec{T}_{e}^{'}=$d$ \vec{T}_{e}(t)/dt$.

La expresión equivalente a la ecuación (6.42), resultante de la aplicación de la formulación del método de los residuos ponderados de Galerkin, es en este caso

\begin{displaymath}\begin{split}S_{e}\left[\int_{\Omega_{e}}\vec{N}_{e}\rho c_{e...
...h_{e}a_{1}T_{\infty}  \mbox{d}\Gamma\right]=\{0\}, \end{split}\end{displaymath} (6.66)

donde $ S_e$ es un operador Booleano que almacena las contribuciones de la matrices elementales en las matrices globales.

Debe recordarse que la condición expresada en la ecuación (6.60) es válida para representar, por ejemplo, tanto condiciones de contorno convectivas ( $ a_{1}=a_{2}=1$) como de flujo de calor constante ($ a_{1}=1$, $ a_{2}=0$). Las integrales de la ecuación (6.66) extendidas al contorno puede por tanto aplicarse, con los valores apropiados de los parámetros $ a_{1}$ y $ a_{2}$, a distintas partes del contorno, según sea necesario.

Debe observarse que la ecuación (6.66) constituye un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias que permite determinar la evolución temporal de la temperatura en los nodos. En el caso de que el problema fuese estacionario, se obtiene un sistema de ecuaciones algebraicas no lineales que proporciona la distribución de temperaturas en los nodos.

La ecuación (6.66) puede escribirse de la forma siguiente:

$\displaystyle \mathbf{\underline{C}}\vec{T}^{'}(t)+(\mathbf{\underline{K}}^{v} ...
...{\underline{K}}^{k} + \mathbf{\underline{K}}^{h})\vec{T}(t) + \vec{b}(t)=\{0\}.$ (6.67)

Las condiciones de contorno de tipo Dirichlet deben tenerse en cuenta como se ha indicado anteriormente. $ \mathbf{\underline{C}}$ es la matriz de capacidad térmica, $ \mathbf{\underline{K}}^{v}$ es una matriz no simétrica que procede del término de convección en la ecuación diferencial, $ \mathbf{\underline{K}}^{k}$ procede del término de difusión, $ \mathbf{\underline{K}}^{h}$ contiene parte de la contribución de las condiciones de contorno convectivas (término homogéneo) y $ \mathbf{\underline{b}}$ es el vector flujo de calor (contribuciones procedentes de condiciones de contorno y de términos fuente en las ecuaciones). También se incluyen en $ \mathbf{\underline{b}}$ contribuciones procedentes de nodos del contorno donde se aplican condiciones de contorno de tipo Dirichlet, como resultado de la partición que debe hacerse para igualar el número de ecuaciones al de incógnitas contenidas en $ \vec{T}$.


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© 2000, 2001, Julio Hernández Rodríguez, ETSII, Universidad Nacional de Educación a Distancia, Madrid