Flujos potenciales

Consideraremos un flujo potencial y estacionario de un fluido incompresible en el interior de un conducto, en el que se halla inmerso un cuerpo fuselado. El flujo quedará descrito por la distribución del potencial de velocidad $\phi$, que satisface la ecuación (5.9),

$$\nabla^2\phi=0.$$ (6.54)

El problema es obviamente elíptico. Las componentes de la velocidad se obtienen a partir de la distribución de $\phi$ mediante la ecuación (5.7),

$$\vec{v}=\vec{\nabla}\phi,$$ (6.55)

Las condiciones de contorno pueden ser de tipo Dirichlet en los contornos de flujo entrante y de flujo saliente y de tipo Neumann en las paredes interiores del conducto y del cuerpo ( $\partial \phi/\partial n=0$), siendo $n$ la normal a la pared, lo que equivale a imponer que las paredes son impermeables. Por ejemplo, fijar un valor uniforme de $\phi$ en cada uno de los contornos de entrada y salida, al ser en tal caso $\partial \phi/\partial s=0$, siendo $s$ la tangente al contorno, equivale a imponer que la velocidad es normal al contorno. El caudal a través del conducto vendrá determinado por la diferencia entre los valores de $\phi$ impuestos en dichos contornos de entrada y salida. También sería posible fijar $\partial \phi/\partial n$ en uno de estos contornos (el de entrada o el de salida), lo que equivaldría a fijar la velocidad normal a éste.

La formulación débil equivalente a la de la ecuación (6.42) es en este caso

$$-\int_{\Omega}\vec{\nabla}\tilde{\phi}\cdot\vec{\nabla}N_i \Omega + \int_{\Gamma_{1}}N_i \frac{\partial \phi}{\partial n} \Gamma=0.$$ (6.56)

Introduciendo

$$\tilde{\phi} = \sum_{i=1}^M \phi_i N_i$$ (6.57)

en la ecuación (6.56), se obtiene

$$-\sum_{j\in \Omega_i} \phi_j \int_{\Omega_i}\lambda\vec{\nabla}N_j\cdot\vec{\nabla}N_i \Omega + \int_{\Gamma_{1}}N_i \frac{\partial \phi}{\partial n} \Gamma=0.$$ (6.58)