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Flujos turbulentos en la proximidad de una pared. Ley de la pared

A elevados números de Reynolds, los flujos turbulentos tienden a ser macroscópicamente independientes de la viscosidad (aunque no en las escalas más pequeñas). Sin embargo, los efectos viscosos afectan al movimiento en la proximidad de una pared de forma muy importante. Considérese el flujo en un conducto bidimensional de paredes lisas (sin rugosidad). Lejos de las paredes, en la mayor parte del conducto, la tensión de Reynolds $ \rho\overline{u'v'}$ es mucho mayor que $ \mu \partial \overline{u}/\partial y$, mientras que en su proximidad estos dos términos se hacen del mismo orden, tendiendo el primero a anularse en la pared debido a que la presencia de ésta inhibe la fluctuaciones turbulentas. Es fácil demostrar5.34 que en una zona adyacente a la pared, denominada subcapa viscosa, donde la tensión cortante puede suponerse uniforme e igual a la tensión en la pared y las tensiones turbulentas son despreciables frente a las debidas a la viscosidad, la velocidad del fluido crece linealmente con la distancia a la pared, $ y$, de acuerdo con la ley

$\displaystyle \frac{u}{u^*}=\frac{yu^*}{\nu},$ (5.108)

siendo $ u^*=(\tau_p/\rho)^{1/2}$ la denominada velocidad de fricción, que puede interpretarse como un valor típico de la velocidad de agitación turbulenta, y $ \tau_p$ la tensión cortante en la pared. Experimentalmente se ha encontrado que esta distribución lineal de velocidad se mantiene hasta una distancia adimensional desde la pared

$\displaystyle y^+=\frac{yu^*}{\nu}\simeq 5,$ (5.109)

que puede considerarse como límite de la subcapa viscosa.

Desde un valor aproximado de $ y^+=30$ hasta un límite superior de $ y^+$ que aumenta con el número de Reynolds, existe una zona lo suficientemente próxima a la pared como para que se satisfaga

$\displaystyle \frac{u}{u^*}=f\left(\frac{yu^*}{\nu}\right),$ (5.110)

pero lo suficientemente alejada como para que las tensiones turbulentas dominen sobre las debidas a la viscosidad, en la que

$\displaystyle \frac{u}{u^*}=2,5 \ln\frac{yu^*}{\nu} + B,$ (5.111)

donde $ B$ es una constante, de valor igual a 5, que se ha determinado experimentalmente. A esta zona se la conoce como capa logarítmica o subcapa inercial. Obsérvese que las funciones de las ecuaciones (5.108) y (5.111) no dependen de la forma del conducto, por lo que describen una ley universal del flujo en las proximidades de superficies sólidas, denominada ley de la pared.

En la zona $ 5 < y^+ < 30$, en la que las tensiones de Reynolds y las debidas a la viscosidad son del mismo orden, no se dispone de expresiones analíticas con fundamento teórico para la distribución de velocidad, aunque existen fórmulas aproximadas basadas en resultados experimentales. Para zonas del flujo más alejadas de la pared que la capa logarítmica, se satisface la denominada ley del defecto de velocidad, que depende de la forma geométrica del conducto.

Cuando la pared tiene una rugosidad $ \varepsilon$, la constante $ B$ en la ecuación (5.111) dependerá de $ \varepsilon u^*/\nu$. En lugar de dicha ecuación (5.111), puede utilizarse

$\displaystyle \frac{u}{u^*}=2,5 \ln\frac{y}{\varepsilon} + B_1,$ (5.112)

donde $ B_1$ es también función de $ \varepsilon u^*/\nu$.

Debido al comportamiento de los flujos turbulentos en las proximidades de una pared que se acaba de describir, la aplicación de una condición de contorno de no deslizamiento en las paredes y la integración de los modelos de cierre de dos ecuaciones a través de la subcapa viscosa proporciona resultados insatisfactorios. Esto es debido a la incapacidad de estos modelos de predecir un valor aceptable de la constante $ B$ en la ley de la pared de la ecuación (5.111). Por ello se recurre generalmente a imponer condiciones de contorno en las paredes para la velocidad, $ k$ y $ \epsilon$ mediante las denominadas funciones de pared. Este procedimiento se basa en utilizar la ley de la pared para relacionar velocidad y tensión cortante. Conocida la velocidad de fricción, pueden determinarse los valores de $ k$ y $ \epsilon$ en los puntos de la malla de cálculo más próximos a la pared mediante

$\displaystyle k=\frac{u^{*2}}{\sqrt{C_\mu}},$ (5.113)

$\displaystyle \epsilon=\frac{u^{*3}}{\mbox{0,4} y}.$ (5.114)

Uno de los inconvenientes de este procedimiento se debe a que las soluciones numéricas obtenidas son generalmente sensibles a la posición del punto elegido para aplicar las funciones de pared con respecto a la superficie de ésta.

Una alternativa a la utilización de funciones de pared consiste en la introducción de correcciones debidas a la viscosidad en el modelo $ k-\epsilon $, que permitan su integración a través de la subcapa viscosa.


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© 2000, 2001, Julio Hernández Rodríguez, ETSII, Universidad Nacional de Educación a Distancia, Madrid