Modelo $k-\epsilon$

En este modelo, como en otros similares,

$$-\overline{v'_{i}v'_{j}}=\nu _{t}\left( \frac{\partial \overline{... ...>19 \partial \overline{v}_{j}}{\partial x_{i}}\right) -\frac{2}{3}k\delta_{ij},$$ (5.101)

$$-\overline{v'_{i}T'}=\frac{\nu _{t}}{\sigma_T} \frac{\partial \overline{T}}{\partial x_{i}},$$ (5.102)

donde $\nu_t$ es la denominada viscosidad cinemática turbulenta,^5.33 $\sigma_T$ es un número de Prandtl para la difusión turbulenta de calor (que suele tomarse constante), y

$$k = {\textstyle\frac{1}{2}}\overline{v'_i v'_i}$$ (5.103)

es la energía cinética de la turbulencia por unidad de masa. La ecuación (5.101) fue propuesta por Boussinesq por analogía con la expresión que relaciona las tensiones debidas a la viscosidad con las velocidades de deformación, lo cual no tiene justificación física, dada la disparidad de los fenómenos considerados.

En el modelo $k-\epsilon$ la viscosidad cinemática turbulenta se determina mediante la expresión

$$\nu _{t}=C_{\mu } \frac{k^{2}}{\epsilon},$$ (5.104)

donde

$$\epsilon= \nu\overline{\frac{\partial v'_i}{\partial x_j} \frac{\partial v'_i}{\partial x_j}}$$ (5.105)

es el ritmo de disipación de energía cinética de la turbulencia por unidad de masa y $C_{\mu}$ es una constante.

Las magnitudes $k$ y $\epsilon$ se determinan mediante las correspondientes ecuaciones de conservación:

$$\frac{\partial k}{\partial t}+\overline{v}_j \frac{\partial k}{\... ...tial x_{i}}\right) \frac{\partial {\overline{v}}_{i}}{\partial x_{j}}-\epsilon,$$ (5.106)

$$\frac{\partial \epsilon}{\partial t}+\overline{v}_j \frac{\parti... ...\partial {\overline{v}}_{i}}{\partial x_{j}}-\frac{C_{\epsilon2}\epsilon^2}{k},$$ (5.107)

donde $\sigma_k$, $\sigma_{\epsilon}$, $C_{\epsilon 1}$ y $C_{\epsilon 2}$ son constantes. En cada una de estas dos ecuaciones, los términos primero, segundo y tercero del segundo miembro representan, respectivamente, difusión, producción y disipación.

Los valores de las constantes que suelen utilizarse en el modelo son los siguientes: $C_{\mu}=0.09$, $C_{\epsilon 1}=1.44$, $C_{\epsilon 2}=1.92$, $\sigma_{k}=1.0$, $\sigma_{\epsilon}=1.3$.

La utilización de las ecuaciones (5.106) y (5.107) implica que la viscosidad turbulenta es mucho mayor que la viscosidad del fluido ( $\nu_t \gg \nu$), lo cual no es cierto cerca de una pared, donde la presencia de ésta suprime las fluctuaciones turbulentas. Pero antes de hacer algunos comentarios sobre condiciones de contorno en flujos turbulentos cuando se utilizan modelos como el $k-\epsilon$, es necesario describir, aunque sea muy brevemente, las características de los flujos turbulentos en las proximidades de una pared.