Aproximación de Boussinesq

En esta sección se describirá una aproximación que suele utilizarse en flujos inducidos por convección natural^5.42 para tratar las variaciones de densidad debidas a variaciones de temperatura de una forma simplificada. Los efectos de compresibilidad no se deben, en este caso, a que existan altas velocidades en el flujo, sino a gradientes de temperatura generalmente causados por calentamiento del fluido a través de superficies sólidas con las que está en contacto.

En flujos inducidos por convección natural (en los que el movimiento del fluido es originado por efectos de flotación debidos a diferencias de densidad en el seno del fluido, a su vez producidas por variaciones de temperatura), es frecuente hacer una aproximación que consiste en suponer constante la densidad del fluido excepto en el término gravitatorio de la ecuación de conservación de la cantidad de movimiento. En dicho término, la densidad se supone que varía de acuerdo con la expresión siguiente:

$$\rho = \rho_{\infty}[1 - \beta(T - T_{\infty})],$$ (5.144)

donde $\beta$ es el coeficiente de expansión térmica,

$$\beta = \rho \left(\frac{\partial (1/\rho)}{\partial T}\right)_p,$$ (5.145)

y $\rho_{\infty}$ es la densidad a una temperatura de referencia $T_{\infty}$. En gases perfectos, $\beta=1/T_{\infty}$.

Haciendo $\vec{f}_m=-g\vec{k}$ en la ecuación (5.39),

$$\rho_{\infty} \frac{\mbox{D}\vec{v}}{\mbox{D}t} = -\vec{\nabla}p + \mu\nabla^2\vec{v}- \rho g\vec{k},$$ (5.146)

y restando a esta ecuación la ecuación que describe la variación de la presión hidrostática con la altura en un fluido con la densidad de referencia $\rho_{\infty}$,

$$\frac{\mbox{d}p_{\infty}}{\mbox{d}z}=-\rho_{\infty}g,$$ (5.147)

resulta

$$\rho_{\infty} \frac{\mbox{D}\vec{v}}{\mbox{D}t} = -\vec{\nabla}(p - p_{\infty}) + \mu\nabla^2\vec{v}+ (\rho_{\infty}- \rho) g\vec{k},$$ (5.148)

y sustituyendo en esta ecuación la ecuación (5.144),

$$\rho_{\infty} \frac{\mbox{D}\vec{v}}{\mbox{D}t} = -\vec{\nabla}(p - p_{\infty}) + \mu\nabla^2\vec{v}+ \rho_{\infty}\beta(T-T_{\infty})g\vec{k}.$$ (5.149)

Obsérvese que al resolver esta ecuación junto con las de conservación de la masa y de la energía interna, se obtendrá la solución para $\vec{v}$, $T$ y la diferencia de presiones $p-p_{\infty}$.

Esta aproximación supone una linealización de la dependencia de la densidad con la temperatura,^5.43por lo que es aceptable para variaciones de temperatura no excesivamente grandes.