El método de los elementos finitos se originó históricamente en el campo de la mecánica estructural, y conserva en su terminología expresiones que recuerdan este origen. En mecánica estructural, la formulación en derivadas parciales de un problema puede ser reemplazada por una formulación variacional equivalente, basada en la minimización de cierta integral de energía sobre el dominio de cálculo. Esta formulación variacional constituye una formulación integral natural para el método de los elementos finitos. En mecánica de fluidos esta formulación variacional no es en general posible, lo que hace menos obvio el procedimiento para formular un método de elementos finitos.
Debido a lo anterior, la forma de introducir procedimientos de aproximación de las ecuaciones de conservación en mecánica de fluidos consistió inicialmente en sustituir las derivadas por expresiones en diferencias finitas, mediante la utilización, por ejemplo, de desarrollos en serie de Taylor. Una variante de estos procedimientos de diferencias finitas son los métodos de volúmenes finitos, basados en la integración de las ecuaciones de conservación sobre los distintos elementos o celdas del dominio discretizado, transformando previamente las integrales de volumen correspondientes a los términos de difusión en integrales de superficie mediante el teorema de la divergencia, y expresando los flujos a través de las caras de cada celda mediante expresiones en diferencias finitas. Veremos en lo que sigue que los métodos de diferencias finitas y de volúmenes finitos, al igual que los métodos de elementos finitos, pueden contemplarse, de forma unificada, como métodos derivados de los métodos de residuos ponderados.
La historia de la dinámica de fluidos computacional muestra que todo avance esencial ha tenido siempre lugar en el contexto de los métodos de diferencias finitas, y que siempre ha requerido un tiempo considerable, a menudo más de una década, la incorporación de la misma idea a métodos de elementos finitos. La historia también muestra que, una vez encontrada una adecuada formulación del método de los elementos finitos para un problema determinado, dicho método es ampliamente utilizado debido a su elegancia y rigor.
El esfuerzo de investigación sobre el método de los elementos finitos en mecánica de fluidos es actualmente muy importante. Podría decirse que, para problemas relativamente simples, correspondientes a flujos de tipo potencial, tanto incompresibles como compresibles, o los descritos por las ecuaciones de Navier-Stokes para números de Reynolds relativamente bajos, el método de los elementos finitos ha alcanzado un alto grado de madurez, aunque siguen produciéndose nuevas aportaciones, particularmente en problemas descritos por las ecuaciones de Navier-Stokes. En problemas más complejos, tales como flujos compresibles descritos por las ecuaciones de Euler o de Navier-Stokes, la evolución del método de los elementos finitos es más incompleta. Esto es lógico si se tiene en cuenta que incluso sobre métodos de diferencias finitas o volúmenes finitos la actividad investigadora sigue siendo muy importante en este tipo de problemas más complejos.
En la sección siguiente se va a hacer una breve descripción de los métodos de residuos ponderados (MRP), que, como ya se ha indicado, proporcionan un marco general para realizar la comparación entre distintos tipos de métodos numéricos, que en realidad pueden ser interpretados como métodos de residuos ponderados, y constituyen el punto de partida para introducir el método de los elementos finitos.