matematica_babilonia_tablilla_plimtom_322_resolucion_teorema_pitagoras_ana_vazquez_hoys_plimptom

(o lo que los griegos no contaron :Donde lo habían conocido. Llamándolo por su nombre: El "plagio que Pitágoras hizo de conocimientos sumerio-babilonios más de mil años anteriores)

Aproximadamente medio millón de tablillas paleobabilónicas de barro, escritas en cuneiforme, se han encontrado en las excavaciones de Mesopotamia desde mediado del pasado siglo XIX d.C.

De ellas, una 400 contienen listas de problemas matemáticos y tablas matemáticas y muchas de ellas se pueden ver en los museos de Paris, Berlín y Londres así como en las colecciones de la Universidades de Yale, Columbia y la Universidad de Pennsylvania.

Los Babilonios, ya desde la I Dinastía ( su sexto rey fue Hammurabi) , usaban, como sus antepasados sumerios más de 1500 años antes, el sistema sexagesimal , es decir, de base 6. Así, si vemos unos números escritos

La tablilla babilónica 322 en la colección de G A Plimpton , en la Columbia University, conocida como Plimpton 322, escrita en cinco columnas , es un magnífico ejemplo de una tablilla matemática escrita por los babilonios.

Por su estilo de escritura pertenece a la época Paleobabilónica (h. 1900-1600 a.C,) y fue publicada por primera vez por Neugebauer y Sachs[1946].

En la trascripción de la tablilla, están los números babilonios y la trascripción decimal al lado.

Las dos columnas de enmedio corresponden al desarrollo de una integral de triángulos con cuatro excepciones (marcadas con *) que se han corregido aquí. La alteración en las líneas novena, décimotercera y decimoquinta están explicadas fácilmente, pero la alteración de la segunda línea es más compleja( R J Gillings[1953] or O Neugebauer[1962]).

La primera coluna enumera o es el ïndice del contenido de la tablilla. Las dos columnas siguientes contienen la resolución de triángulos y la cuarta contiane la razón c con b identificable con la función trigonométrica del ángulo A

p	q	p²	^q2	^2pq	^II p2 - q²	^III p2 + q²	^IV	^{p / q}
¹²	⁵	^{2 24}	²⁵	^{2 00}	^{1 59}	^{2 49}	¹	^2;24
^{1 04}	²⁷	^{1 08 16}	^{12 09}	^{57 36}	^{56 07}	^{1 20 25}	²	^{2;22 13 20}
^{1 15}	³²	^{1 33 45}	^{17 04}	^{1 20 00}	^{1 16 41}	^{1 50 49}	³	^{2;20 37 30}
^{2 05}	⁵⁴	^{4 20 25}	^{48 36}	^{3 45 00}	^{3 31 49}	^{5 09 01}	⁴	^{2;18 53 20}
⁹	⁴	^{1 21}	¹⁶	^{1 12}	^{1 05}	^{1 37}	⁵	^2;15
²⁰	⁹	^{6 40}	^{1 21}	^{6 00}	^{5 19}	^{8 01}	⁶	^{2;13 20}
⁵⁴	²⁵	^{48 36}	^{10 25}	^{45 00}	^{38 11}	^{59 01}	⁷	^{2;09 36}
³²	¹⁵	^{17 04}	^{3 45}	^{16 00}	^{13 19}	^{20 49}	⁸	^2;08
²⁵	¹²	^{10 25}	^{2 24}	^{10 00}	^{8 01}	^{12 49}	⁹	^2;05
^{1 21}	⁴⁰	^{1 49 21}	^{26 40}	^{1 48 00}	^{1 22 41}	^{2 16 01}	¹⁰	^{2:01 30}
²	¹	⁴	¹	⁴	³	⁵	¹¹	²
⁴⁸	²⁵	^{38 24}	^{10 25}	^{40 00}	^{27 59}	^{48 49}	¹²	^{1;55 12}
¹⁵	⁸	^{3 45}	^{1 04}	^{4 00}	^{2 41}	^{4 49}	¹³	^{1;52 30}
⁵⁰	²⁷	^{41 10}	^{12 09}	^{45 00}	^{29 31}	^{53 49}	¹⁴	^{1;51 06 40}
⁹	⁵	^{1 21}	²⁵	^{1 30}	⁵⁶	^{1 46}	¹⁵	^1;48

History and Examples of Tables

Plimpton Tablet - [ Traduzca esta página ]
... The Babylonian tablet number 322 in the GA Plimpton collection at Columbia University,
known as Plimpton 322, is a well studied example of a mathematical ...

p322
Plimpton 322. El teorema de Pitágoras es, sin duda, el teorema más
popular de toda la matemática. Ya se conocía ... Plimpton 322.
www.arrakis.es/~mcj/p322.htm - 11k

Plimpton 322 - [ Traduzca esta página ]
The Babylonian tablet Plimpton 322. This mathematical tablet was recovered
from an unknown place in the Iraq desert. It can be determined ...
www.math.ubc.ca/~cass/courses/m446-03/pl322/pl322.html - 11k

www.swan.ac.uk/.../TheoryGroups/AlgMethFolder/ DSTFolder/HistoryOfTables/Plimpton/Plimpton.html - 6k -

Tables have been used as far back as 1900 B.C. to document mathematical functions. They have propagated through time to the current day where tables are widely used in a variety of environments.
A collection of historical and current day tables is given below to illustrate how widely used they are:

Her Fig 3 gives an illustration of the use of compasses. Hoyrup also illustrates the use of compasses, pg 265.

The circle on the obverse of the tablet is drawn with a compass, and the sides and height of the inscribed triangle traced after a ruler (and the angle between the height and the base is as right as can be controlled on the photo). What the text does is to find the radius r of the circle which is circumscribed about the double 30—40—50-triangle — which, as pointed out by Bruins in the commentary, provides us with incontestable evidence that the Susian calculators of the Old Babylonian age were able to conceptualize both the circumscribed circle and the height of an isosceles triangle.

This is a remarkable illustration of analytical OB mathematics. We can see that it refutes Robson's entire line of reasoning about circles. A radius is defined. Whether Robson sees this as a "rotatable line" becomes an academic argument. What is meant by that term? When I rotate a compass I do not see a line dangling from my instrument; I merely rotate it to create the circle. If I did not use a compass, but put a peg in the ground, stretched out a string to the radius of my circle, and then rotated that, would that help Robson understand what a "rotatable line" is? When I use a compass I do the same thing except that I have lifted my string off the ground, pinned it to some convenient handle that preserves proportions, and then rotated the handle.

Is it possible to rotate a string, or a compass, and not arrive at the concept of angular measure? Were the ancient OB scribes that primitive in their thinking? I can go part way around the circle, 1/8 or 1/3 or 3/5 or any measurable amount and I inherently invoke the idea of angular measure. I can measure that as an angle, or portions of a radius, radian measure, or portions of a circumference, inferred radian measure, but I do measure it. The paucity of circle problems in OB mathematics does not rule out knowledge of circular measure.

Note that this problem is not set up as a slope problem. It is not proposed in terms of a vertical distance and horizontal distance, but has a specified radius. Arguments have raged around Egyptian understanding of angular measure. Did they know only slopes? We can see that this one problem, in 1800 BC, shows an understanding of angular measure. Surely the Egyptians were able to borrow intellectual ideas from the Mesopotamians.

The Susa tablet sets out a problem with two 3-4-5 triangles to create an isosceles triangle with sides 50, 50 and 60. (Note the sizing to 30, 40, 50 and 60 susi, or 1, 4/3, 5/3 and 2 cubits.) The problem is to find the radius of the circle that circumscribes the figure. We can see that the problem is abstracted into a mathematical statement that does not require pegs in the ground, strings, or other real paraphernalia. Most of OB mathematical illustrations are abstracted in like manner. The dimensions merely provide means to quantify the problem in the mind. That is the reason OB problems are often illustrated in convenient and repetitive measurable dimensions. Consider the perfect square in the preceding paper with 30 susi (1 cubit) on a side, and this illustration with 30-40-50 susi.

Here is where Robson becomes so adamant about transferring our modern algebraic notions back to Old Babylon. By habit, it is easy for us to use algebraic notation to represent their problems and their thinking. Neugebauer did just that. Hoyrup also employs algebraic notations because it makes the representation so easy of what and how the OB scribes thought. Refer to his discussion about this isosceles problem on pgs 265-268.

This is also where we meet the evidence of the lack of general procedures. There was no activity in OB mathematics that would generalize the problems into algebraic notation as a statement. Every mathematical illustration is real life, hard reality. Nevertheless, the representation of the problem is abstracted in illustration. This current problem is not stated in terms of a real circle inscribed in the earth, but as a general case, with dimensions of 50-50-60. The act of abstracting to convenient susi shows how they approached these problems.

This raises an important question. Where is the line that divides the illustration of hard reality from the abstract? The OB scribes could abstract a practical mathematical question, but why did they not take the next step and abstract to pure algebraic notation? Especially after repeated representation of problems.

The easiest way to solve this particular problem is through the Pythagorean relationship. If we try any other method we quickly become involved in complex solutions. Hoyrup recognized this fact, pg 266. He admits to solutions on arithmetical grounds using a rule that Euclid stated a thousand years later, Elements, II.7. . . . it is virtually certain that it is already known no later than 2200 BC . . . See his discussion on pg 267. But this invokes the use of squares and square roots.

But (40-r) = 8 45 in sexagesimal, (or 8.75 in decimal), is given in the problem. Then, calculating decimally:

The question that now arises is if the circle was first created, and then the isosceles triangle inserted within the circle. Or was the isosceles created and the circle circumscribed around it? The clay figure is heavily damaged, with the Reverse containing numbers that appear to be intermediate results related to the figure, but so badly destroyed one cannot make deductions from them. Since the radius is sought we naturally assume that the isosceles triangle was first set out, and then the circle circumscribed around it.

The concept of a radius is central to the statement of this problem. Furthermore, the problem illustrates a conceptualization that requires recognition of something worked from the inside, not from the outside. Again Robson reveals her lack of understanding of OB mathematics and her desire to reduce those ancient Semitic scribes to primitive people.

Note that three points define a circle; we do not know if the OB scribes knew this. Since they give a distance from the baseline of the triangle to the center of the circle, they are pointing us to that center. Once this is known, the compasses can easily find the radius, and then draw the circle. The problem was to determine the distance the compasses should be set to obtain the result.

If the OB scribes understood isosceles triangles did they also understand equilateral triangles? What else was in their circular and triangular repertoire? This example points to a wider mathematical knowledge. I get the impression that the extant evidence is only skimming the surface of OB knowledge.

Los babilonios tenían un sistema numérico avanzado, en algunos aspectos más avanzado aún que nuestros sistemas actuales. Era un sistema posicional en base 60, en lugar de base 10, que es lo habitual en la actualidad. Para más detalles sobre los numerales babilonios, y también para una discusión sobre las teorías sobre por qué usaban base 60, vea nuestro artículo sobre los numerales babilonios.

Los Babilonios dividían el día en 24 horas, cada hora en 60 minutos y cada minuto en 60 segundos. Esta forma de contar ha sobrevivido durante 4 000 años. Escribir 5h 25' 30', es decir, 5 horas, 25 minutos, 30 segundos, es equivalente a escribir la fracción sexagesimal 5 ²⁵/₆₀ ³⁰/₃₆₀₀. Adoptamos la notación 5;25,30 para este número sexagesimal; para más detalles sobre esta notación vea nuestro artículo sobre numerales babilonios. En base 10, el número sexagesimal 5;25,30 es 5 ⁴/₁₀ ²/₁₀₀ ⁵/₁₀₀₀, que se escribe 5,425 en notación decimal.

Quizá el aspecto más sorprendente de las avanzadas habilidades de cálculo babilonias era la construcción de tablas para facilitar el cálculo. Dos tabletas halladas en Senkerah en el Éufrates en 1854 datan de 2000 a. C. proporcionan los cuadrados de los números hasta el 59 y los cubos de los números hasta el 32. La tableta da 8² =1,4, lo que significa

8² = 1,4 = 1×60 + 4 = 64

y así hasta 59² = 58,1 (= 58×60 + 1 = 3481).

Los Babilonios usaban la fórmula

ab = [(a+b)² - a² - b²]/2

para facilitar la multiplicación. Aún mejor es esta fórmula

ab = [(a+b)² - (a-b)²]/4

que muestra que la tabla de cuadrados es todo lo necesario para multiplicar números, simplemente restando dos cuadrados mirados en las tablas y tomando un cuarto del resultado.

La división es un proceso más complicado. Los Babilonios no tenían ningún algoritmo para la división larga. En lugar de ello basaban su método en el hecho de que

a/b = a × (1/b)

de modo que todo sólo era necesaria una tabla de inversos. Aún tenemos sus tablas de inversos que alcanzan números hasta varios miles de millones. Por supuesto, estas tablas están escritas con sus numerales, pero usando la notación sexagesimal que introdujimos anteriormente el principio de una de estas tablas sería:

2	0; 30
3	0; 20
4	0; 15
5	0; 12
6	0; 10
8	0; 7, 30
9	0; 6, 40
10	0; 6
12	0; 5
15	0; 4
16	0; 3, 45
18	0; 3, 20
20	0; 3
24	0; 2, 30
25	0; 2, 24
27	0; 2, 13, 20

Ahora bien, la tabla tiene huecos ya que ¹/₇, ¹/₁₁, ¹/₁₃, etc. no son fracciones finitas en base 60. Esto no significa que los Babilonios no pudieran calcular, por ejemplo, ¹/₁₃. Escribirían:

¹/₁₃ = ⁷/₉₁ = 7×( ¹/₉₁) =(aprox.) 7×( ¹/₉₀)

y estos valores, por ejemplo ¹/₉₀, se dan en las tablas. De hecho, hay fascinantes ejemplos de cómo los Babilonios trataban con el hecho de que la división entre 7 llevaría a una fracción sexagesimal infinita. Un escriba daría un número aproximado a ¹/₇ y después escribiría una frase como (ver por ejemplo [5]):

... se da una aproximación ya que 7 no divide.

Los matemáticos babilonios fueron mucho más allá de las operaciones aritméticas. En nuestro artículo sobre El teorema de Pitágoras en la matemática babilonica examinamos algunas de sus ideas sobre geometría y también algunas ideas básicas sobre teoría de números. En este artículo examinamos ahora parte del álgebra desarrollada por los Babilonios, en particular problemas que llevaron a las ecuaciones y su solución.

Indicamos anteriormente que los Babilonios eran famosos como constructores de tablas. Ahora bien, estas podrían usarse para resolver ecuaciones. Por ejemplo, construyeron tablas para n³ + n²; con la ayuda de estas tablas se podían resolver algunas ecuaciones cúbicas. Por ejemplo, considérese la ecuación

ax³ + bx² = c

Hay que enfatizar de inmediato que estamos usando notación moderna y que en los tiempos babilónicos no existía nada parecido a una representación simbólica. Sin embargo los Babilonios podían manejar ejemplos numéricos de ecuaciones como estas usando reglas que indican que tenían el concepto de un problema tipo determinado y un método tipo para resolverlo. Por ejemplo, en el caso anterior (usando nuestra notación) multiplicarían la ecuación por a² y la dividirían por b² para obtener

(a×/b)³ + (ax/b)² = ca²/b³.

Tomando y = ax/b se obtiene la ecuación

y³ + y² = ca²/b³

que podría resolverse buscando en la tabla de n³ + n² el valor de n que satisface n³ + n² = ca²/b³. Una vez hallada la solución para y, se hallaba la x haciendo x = by/a. Hacemos de nuevo hincapié en que todo esto se hacía sin notación algebraica, mostrando una comprensión de notable profundidad.

Una vez más, mirarían una tabla para resolver la ecuación lineal ax=b. Consultarían la tabla de 1/n para hallar 1/a y después multiplicar el número sexagesimal obtenido en la tabla por b. Un ejemplo de un problema de este tipo es el siguiente.

Supongamos, escribe un escriba, que tomamos 2/3 de 2/3 de una cierta cantidad de cebada, se añaden 100 unidades de cebada y se restaura la cantidad original. El problema propuesto por el escriba consiste en hallar la cantidad de cebada. La solución dada por el escriba consiste en calcular 0;40 por 0;40 para obtener 0;26,40. Restar esto de 1;00 para obtener 0;33,20. Buscar el inverso de 0;33,20 en una tabla, lo que resulta en 1;48. Multiplicar 1;48 por 1,40 para obtener la respuesta 3,0.

No es tan fácil entender estos cálculos del escriba a menos que los traduzcamos a la notación algebraica moderna. Tenemos que resolver

(2/3 × 2/3)x + 100 = x

que es, como sabía el escriba, equivalente a resolver (1 - ⁴/₉)x = 100. Por eso el escriba calcula ²/₃ × ²/₃ y sustrae el resultado de 1 para obtener (1 - ⁴/₉); luego busca 1/(1 - ⁴/₉) y resuelve x multiplicando 1/(1 - ⁴/₉) por 100 para dar 180 (que es 1;48 por 1,40, que da 3,0 en sexagesimal).

Para resolver una ecuación cuadrática los Babilonios básicamente usaban la fórmula estándar. Consideraban dos tipos de ecuaciones cuadráticas, a saber:

x² + bx = c y x² - bx = c

donde b, c son positivos, pero no necesariamente enteros. La forma de sus soluciones eran, respectivamente

x = √[(b/2)² + c] - (b/2) y x = √[(b/2)² + c] + (b/2).

Hay que notar que en cada caso se da la raíz positiva de las dos raíces de la ecuación cuadrática, que es la que tendría sentido en la resolución de problemas 'reales'. Por ejemplo, los problemas que llevaban a los Babilonios a estas ecuaciones a menudo se referían al área de un rectángulo. Por ejemplo si se da el área y la cantidad en que la longitud supera al ancho, entonces el ancho cumple una ecuación cuadrática, y aplicarían la primera versión de la fórmula descrita anteriormente.

Un problema de una tableta de la época de la Antigua Babilonia afirma que el área de un rectángulo es 1,0 y que su longitud supera a su ancho por 7. La ecuación

x² + 7x = 1,0

por supuesto, no viene dada por el escriba, quien halla la solución de la siguiente manera: Calcula la mitad de 7, es decir 3;30, lo eleva al cuadrado para obtener 12;15. A esto el escriba suma 1,0 para obtener 1,12;15. Halla su raíz cuadrada a partir de una tabla de cuadrados, obteniendo 8;30. De esto resta 3;30, obteniendo 5 para el ancho del rectángulo. El escriba ha resuelto en efecto una ecuación del tipo x² + bx = c usando x = √[(b/2)² + c] - (b/2).

En [10] Berriman da 13 ejemplos típicos de problemas procedentes de tabletas de la Antigua Babilonia que llevan a ecuaciones cuadráticas.

Si los problemas relacionados con el área de los rectángulos llevan a ecuaciones cuadráticas, entonces los problemas relacionados con el volumen de una excavación rectangular (un 'sótano') llevan a ecuaciones cúbicas. La tablilla de arcilla BM 85200+, que contiene 36 problemas de este tipo, es el primer intento conocido de plantear y resolver ecuaciones cúbicas. Hoyrup analiza esta fascinante tablilla en [26]. Por supuesto, los Babilonios no llegaron a descubrir una fórmula genérica para resolver ecuaciones cúbicas. Esta no se encontraría hasta bastante después de otros tres mil años.

Artículo de: J J O'Connor y E F Robertson
MacTutor History of Mathematics Archive

Bibliografía

G G Joseph, The crest of the peacock (London, 1991).
A E Berriman, The Babylonian quadratic equation, Math. Gaz. 40 (1956), 185-192.
J Hoyrup, The Babylonian cellar text BM 85200+ VAT 6599. Retranslation and analysis, Amphora (Basel, 1992), 315-358.
K Muroi, Small canal problems of Babylonian mathematics, Historia Sci. (2) 1 (3) (1992), 173-180.

Más referencias bibliográficas (50 libros/artículos)

La numeración babilonia

La civilización babilonia de Mesopotamia continuó las civilizaciones sumeria y acadia. Ciertamente, en cuanto al sistema numeral los babilonios heredaron ideas de los Sumerios y de los Acadios. De los sistemas numerales de estos predecesores provenía la base 60, es decir, el sistema sexagesimal. Sin embargo, ni el sistema acadio ni el sumerio eran posicionales, y este avance de los Babilonios fue indudablemente su mayor logro en el desarrollo del sistema numérico. Algunos incluso dirían que fue su mayor logro en matem�ticas.

A menudo, al o�r que el sistema num�rico babil�nico era de base 60, la primera reacci�n de la gente es: cu�ntos s�mbolos num�ricos espec�ficos ten�an que haber aprendido. Por supuesto, este comentario se deriva del conocimiento de nuestro propio sistema decimal, que es un sistema posicional con nueve s�mbolos espec�ficos y un s�mbolo cero para denotar un lugar vac�o. Sin embargo, en lugar de tener que aprender 10 s�mbolos como tenemos que hacer nosotros para usar nuestro sistema decimal, los Babilonios s�lo ten�an que aprender dos s�mbolos para producir su sistema posicional de base 60.

Ahora bien, aunque el sistema babil�nico era un sistema posicional de base 60, conten�a ciertos vestigios de un sistema de base 10. Esto es as� porque cada uno de los 59 n�meros que van en cada posici�n se construye con un s�mbolo de unidades y otro de decenas.

Estos son los 59 s�mbolos construidos con estos dos s�mbolos

Los 59 s�mbolos del sistema babilonio

Dado un sistema posicional, es necesaria una convenci�n que determine cu�l de los extremos corresponde a las unidades. Por ejemplo, en decimal 12345 representa

1 � 10⁴ + 2 � 10 ³ + 3 � 10² + 4 � 10 + 5.

Pensando en ello, es quiz� il�gico, puesto que leemos de izquierda a derecha as� que al leer el primer d�gito no conocemos su valor hasta haber le�do el n�mero completo para determinar qu� potencia de 10 est� asociada a esta primera posici�n. El sistema posicional sexagesimal babil�nico ordena los n�meros con esta misma convenci�n, de modo que la posici�n del extremo de la derecha es para las unidades hasta 59, la siguiente hacia la izquierda representa 60 � n con 1 ≤ n &le 59, etc. Adoptando la notaci�n que separa los numerales con comas tenemos que, por ejemplo, 1,57,46,40 representa el n�mero sexagesimal

1 � 60³ + 57 � 60² + 46 � 60 + 40

que, en notaci�n decimal, es 424 000.

Este es 1,57,46,40 en numerales babilonicos

Ahora bien, existe un problema en potencia con este sistema. Puesto que el dos se representa por dos guarismos cada uno de los cuales representa una unidad y 61 se representa por un guarismo uno en la primera posici�n para la unidad y otro guarismo id�ntico de una unidad en la segunda posici�n, los n�meros sexagesimales babilonios 1,1 y 2 tienen en esencia la misma representaci�n. Sin embargo, esto no supon�a un problema en realidad ya que el espaciado de los guarismos permit�a distinguirlos. En el s�mbolo de 2, los dos guarismos que representan la unidad se tocan, haciendo un �nico s�mbolo. En el n�mero 1,1 hay un espacio entre ellos.

Un problema mucho m�s grave era que no hab�a un cero para colocar en las posiciones vac�as. Los n�meros sexagesimales 1 y 1,0 (1 y 60 respectivamente en decimal) ten�an exactamente la misma representaci�n y el espaciado no serv�a de ayuda en este caso. El contexto lo aclaraba y, de hecho, aunque esto parezca muy poco satisfactorio no podr�a haber sido considerado as� por los Babilonios. �C�mo lo sabemos? Bien, si realmente les pareciese que el sistema presentaba ambig�edades habr�an resuelto el problema: no cabe duda de que pose�an las habilidades necesarias para encontrar una soluci�n si el sistema hubiera sido impracticable. Quiz� deber�amos mencionar que los Babilonios tard�os inventaron un s�mbolo para indicar una posici�n vac�a, as� que es posible que la carencia de un cero no fuese totalmente satisfactoria para ellos.

Asimismo, una posici�n vac�a en el interior de un n�mero daba problemas. Aunque no es un comentario muy serio, quiz� merezca la pena hacer notar que si suponemos que todos los d�gitos tienen la misma probabilidad de aparecer en un n�mero, en nuestro sistema digital hay una probabilidad entre diez de tener una posici�n vac�a, mientras que para los Babilonios con su sistema sexagesimal esta probabilidad era de una entre sesenta. Volviendo a las posiciones vac�as en el interior de un n�mero, podemos examinar ejemplos reales en los que ocurre esto.

Este es un ejemplo de una tableta cuneiforme (concretamente AO 17264 en la colecci�n del Louvre, Par�s) en el cual se realizan los c�lculos para elevar 147 al cuadrado. En sexagesimal 147 = 2,27, y al cuadrado da 21 609 = 6,0,9.

Este el ejemplo babil�nico de 2,27 al cuadrado

Quiz� el escriba dej� un poco m�s de espacio entre el 6 y el 9 que si estuviera representando 6,9.

Y si la posici�n vac�a resultaba problem�tica con los enteros, era a�n peor con las fracciones babil�nicas. Los babilonios usaban un sistema de fracciones sexagesimales similar a nuestras fracciones decimales. Por ejemplo, si escribimos 0,125 entonces tenemos ¹/₁₀ + ²/₁₀₀ + ⁵/₁₀₀₀ = ¹/₈. Por supuesto, una fracci�n de la forma ^a/_b, en su forma reducida, puede representarse como una fracci�n decimal finita si, y solo si, b no tiene divisores primos distintos de 2 y 5. As�, ¹/₃ no tiene fracci�n decimal finita. An�logamente, la fracci�n sexagesimal babil�nica 0;7,30 representaba ⁷/₆₀ + ³⁰/₃₆₀₀, que en nuestra notaci�n resulta tambi�n ¹/₈.

Puesto que 60 es divisible por los factores primos 2, 3 y 5, una fracci�n de la forma ^a/_b, en su forma reducida, puede representarse como una fracci�n decimal finita si, y solo si, b no tiene divisores primos distintos de 2, 3 y 5. Por lo tanto hay m�s fracciones que pueden representarse como fracciones sexagesimales finitas que como fracciones decimales finitas. Algunos historiadores creen que esta observaci�n influy� en que los Babilonios desarrollasen el sistema sexagesimal, en lugar del decimal, pero esto no parece probable. Si tal fuera el caso, �por qu� no usar base 30? M�s adelante discutiremos este problema con m�s detalle.

Hemos sugerido ya la notaci�n que utilizaremos para denotar un n�mero sexagesimal con parte fraccionaria. Como ejemplo, 10,12,5;1,52,30 representa

10 � 60² + 12 � 60 + 5 + ¹/₆₀ + ⁵²/_60² + ³⁰/_60³

que en nuestra notaci�n es 36725 ¹/₃₂. Esto est� bien, pero hemos introducido la notaci�n del punto y coma para indicar d�nde termina la parte entera y comienza la parte decimal. Es la 'coma sexagesimal', y desempe�a un papel equivalente a la coma decimal. Sin embargo, los Babilonios no ten�an ninguna notaci�n para indicar d�nde terminaba la parte entera y empezaba la parte fraccionaria. Por tanto, hab�a mucha ambig�edad y la filosof�a de 'el contexto lo aclara' empieza a parecer muy precaria. Si escribo 10,12,5,1,52,30 sin notaci�n para la 'coma sexagesimal' podr�a referirse a cualquiera de los siguientes n�meros:

0;10,12, 5, 1,52,30
10;12, 5, 1,52,30
10,12; 5, 1,52,30
10,12, 5; 1,52,30
10,12, 5, 1;52,30
10,12, 5, 1,52;30
10,12, 5, 1,52,30

adem�s de, por supuesto, 10, 12, 5, 1, 52, 30, 0 � 0 ; 0, 10, 12, 5, 1, 52, 30 etc.

Finalmente deber�amos considerar la cuesti�n de por qu� los Babilonios usaban un sistema num�rico de base 60. La respuesta sencilla es que heredaron la base 60 de los Sumerios, pero eso no sirve de nada. S�lo nos lleva a preguntar por qu� los Sumerios usaban base 60. El primer comentario ser�a que no tenemos que seguir retrocediendo, ya que podemos estar bastante seguros de que el sistema sexagesimal se inici� con los Sumerios. El segundo punto es que los matem�ticos modernos no han sido los primeros en hacer esta pregunta. Theon de Alejandr�a intent� responder esta pregunta en el siglo IV a. de C. y muchos historiadores de las matem�ticas han propuesto sus opiniones desde entonces, sin que nadie haya llegado a dar una respuesta realmente convincente.

La respuesta de Theon era que 60 es el menor n�mero divisible por 1, 2, 3, 4 y 5 de modo que se maximizaba el n�mero de divisores. Aunque esto es cierto, parece una raz�n demasiado acad�mica. Base 12 ser�a una candidata m�s probable si esta fuese la raz�n, pero ninguna civilizaci�n importante parece haber utilizado esta base. Por otro lado, muchas unidades de medida involucran el n�mero 12; por ejemplo, se da frecuentemente en subdivisiones de pesos, monedas y longitudes. Por ejemplo, en las antiguas medidas brit�nicas hab�a doce pulgadas en un pie, doce peniques en un chel�n, etc.

Neugebauer propuso una teor�a basada en los pesos y medidas que usaban los Sumerios. Su idea es, b�sicamente, que un sistema decimal se modific� a base 60 para permitir dividir los pesos y medidas en tercios. Sabemos con certeza que el sistema de pesos y medidas de los Sumerios usaba ¹/₃ y ²/3 como fracciones b�sicas. Sin embargo, aunque puede que Neugebauer tenga raz�n, el contra argumento ser�a que el sistema de pesos y medidas era consecuencia del sistema num�rico, en lugar de al contrario.

Algunas teor�as se han basado en eventos astron�micos. La sugerencia de que 60 es el producto del n�mero de meses en el a�o (lunas por a�o) por el n�mero de planetas (Mercurio, Venus, Marte, J�piter, Saturno) tambi�n parece demasiado precario como justificaci�n de la base 60. El historiador de las matem�ticas Moritz Cantor sugiri� que una posible raz�n para usar base 60 era que se pensaba que el a�o ten�a 360 d�as. Una vez m�s, esta idea no resulta convincente, ya que los Sumerios sab�an con certeza que el a�o dura m�s de 360 d�as. Otra hip�tesis se refiere a que el Sol recorre 720 veces su di�metro en un d�a, y como el d�a sumerio ten�a 12 horas, se llega f�cilmente al 60.

Algunas teor�as se basan en la geometr�a. Por ejemplo, una teor�a es que el tri�ngulo equil�tero era considerado por los Sumerios el bloque constructivo geom�trico fundamental. Los �ngulos de un tri�ngulo equil�tero son de 60�, as� que divididos en 10 partes la unidad angular b�sica ser�a de 6�. Ahora bien, hay 60 de estas unidades b�sicas en una circunferencia, de modo que tenemos la raz�n propuesta para elegir 60 como base. Pero este argumento pr�cticamente se contradice a s� mismo, ya que �presupone que la unidad b�sica de divisi�n es 10!

Yo [EFR] opino que todas estas razones no merecen consideraci�n seria. Quiz�s haya trucado un poco mi razonamiento, pero la frase que he utilizado 'elegir 60 como base' es muy significativa. Simplemente, no creo que ninguna civilizaci�n haya elegido nunca un n�mero como base. �Puede imaginarse a los Sumerios formando un comit� para decidir qu� n�mero usar como base? No, las cosas no ocurrieron as�. La raz�n tiene que estar relacionada con la manera en la que se empez� a contar en la civilizaci�n sumeria, al igual que 10 fue la base en otras civilizaciones que empezaron a contar con los dedos de las manos, y veinte fue la base para los que contaban los dedos de pies y manos.

He aqu� una manera en la que esto podr�a haber sucedido: se puede contar hasta 60 usando las dos manos. En la mano izquierda cada dedo tiene tres partes (excluyendo el pulgar). Las partes est�n separadas por las articulaciones de los dedos. Se puede contar hasta 60 apuntando a cada una de las 12 partes de los dedos de la mano izquierda (sin contar el pulgar) con cada uno de los 5 dedos de la mano derecha. De este modo se cuenta con los dedos hasta 60 en lugar de hasta 10. �Convincente?

Una variante de esta proposici�n ha sido propuesta. La teor�a aparentemente m�s aceptada propone que la civilizaci�n sumeria debe de haber resultado de la uni�n de dos pueblos, uno de los cuales contaban en base 12 y el otro en base 5. Aunque 5 no es ni de lejos tan com�n como 10 como base entre pueblos antiguos, no es infrecuente y es utilizada por gentes que cuentan con los dedos de una mano. Esta teor�a supone que despu�s de la uni�n de los dos pueblos, al usarse los dos sistemas al comerciar entre s�, el sistema de base 60 surgir�a de forma natural como el sistema entendido por todos.

Tambi�n he o�do esta teor�a propuesta con los dos pueblos que se mezclan que usaban bases 10 y 6. Esta versi�n tiene la ventaja de que hay una unidad natural para 10 en el sistema babil�nico, y se podr�a decir que es una reminiscencia del sistema decimal anterior. Una de las ventajas de estas teor�as es que es posible que se hallen pruebas documentales de los dos sistemas que se entremezclaron, lo que probar�a las conjeturas. No hay que pensar en la historia como un tema muerto. Al contrario, nuestros puntos de vista cambian continuamente a medida que las �ltimas investigaciones aportan nuevas pruebas e interpretaciones.

Art�culo de: J J O'Connor y E F Robertson
MacTutor History of Mathematics Archive

Bibliograf�a

Libros

A Aaboe, Episodes from the Early History of Mathematics (1964).
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G G Joseph, The crest of the peacock (London, 1991).
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B L van der Waerden, Science Awakening (Groningen, 1954).
B L van der Waerden, Geometry and Algebra in Ancient Civilizations (New York, 1983).
Art�culos:
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J Friberg, Methods and traditions of Babylonian mathematics. Plimpton 322, Pythagorean triples, and the Babylonian triangle parameter equations, Historia Mathematica 8 (1981), 277-318.

LA TABLILLA PLIMPTON 322 :La resolución del Teorema de Pitágoras"antes de Pitágoras

History and Examples of Tables

Babylonia

Mathematicians

Bibliography

La numeración babilonia