LA TABLILLA PLIMPTON 322
:La resolución del Teorema de Pitágoras"antes de Pitágoras
(o lo que los griegos no contaron :Donde lo
habían conocido. Llamándolo por su nombre: El "plagio que
Pitágoras hizo de conocimientos sumerio-babilonios más de mil años
anteriores)

www.uned.es/.../PLIMPTONGRANDE6.htm
Aproximadamente medio millón de tablillas paleobabilónicas de
barro, escritas en cuneiforme, se han encontrado en las excavaciones de
Mesopotamia desde mediado del pasado siglo XIX d.C.
De ellas, una 400 contienen listas de problemas matemáticos
y tablas matemáticas y muchas de ellas se pueden ver en los museos
de Paris, Berlín y Londres así como en las colecciones de la
Universidades de Yale, Columbia y la Universidad de
Pennsylvania.
Los Babilonios, ya desde la I Dinastía ( su sexto rey fue
Hammurabi) , usaban, como sus antepasados sumerios más de 1500 años
antes, el sistema sexagesimal , es decir, de base 6. Así, si
vemos unos números escritos
1,4,6;30,2
debemos entenderlo como
(1*(60*60)) +
(4*60) + (6) + (30*1/60) + (2*1/(60*60))
La tablilla babilónica 322 en la colección de G A
Plimpton , en la Columbia University, conocida como Plimpton
322, escrita en cinco columnas , es un magnífico ejemplo de una
tablilla matemática escrita por los babilonios.
Se puede ver
http://www.sciences-en-ligne.com/momo/chronomath/anx3/plimpton.html
una foto de la tablilla original.

(~72K)
Por su estilo de escritura pertenece a la época Paleobabilónica
(h. 1900-1600 a.C,) y fue publicada por primera vez por Neugebauer
y Sachs[1946].
En la trascripción de la tablilla, están los números babilonios y
la trascripción decimal al lado.
Las dos columnas de enmedio corresponden
al desarrollo de una integral de triángulos con cuatro excepciones (marcadas
con *) que se han corregido aquí. La alteración en las líneas
novena, décimotercera y decimoquinta están explicadas fácilmente,
pero la alteración de la segunda línea es más compleja( R J Gillings[1953] or O Neugebauer[1962]).
|
a |
c |
1;59,0,15 (1.9834) |
1,59 (119) |
2,49 (169) |
1 |
1;56,56,58,14,50,6,15 (1.9492) |
56,7 (3367) |
1,20,25 (4825) * |
2 |
1;55,7,41,15,33,45 (1.9188) |
1,16,41 (4601) |
1,50,49 (6649) |
3 |
1;53,10,29,32,52,16 (1.8862) |
3,31,49 (12709) |
5,9,1 (18541) |
4 |
1;48,54,1,40 (1.8150) |
1,5 (65) |
1,37 (97) |
5 |
1;47,6,41,40 (1.7852) |
5,19 (319) |
8,1 (481) |
6 |
1;43,11,56,28,26,40 (1.7200) |
38,11 (2291) |
59,1 (3541) |
7 |
1;41,33,59,3,45 (1.6928) |
13,19 (799) |
20,49 (1249) |
8 |
1;38,33,36,36 (1.6427) |
8,1 (481) * |
12,49 (769) |
9 |
1;35,10,2,28,27,24,26,40 (1.5861) |
1,22,41 (4961) |
2,16,1 (8161) |
10 |
1;33,45 (1.5625) |
45,0 (45) |
1,15,0 (75) |
11 |
1;29,21,54,2,15 (1.4894) |
27,59 (1679) |
48,49 (2929) |
12 |
1;27,0,3,45 (1.4500) |
2,41 (161) * |
4,49 (289) |
13 |
1;25,48,51,35,6,40 (1.4302) |
29,31 (1771) |
53,49 (3229) |
14 |
1;23,13,46,40 (1.3872) |
56 (56) |
1,46 (106) * |
15 |
La primera coluna enumera o es
el ïndice del contenido de la tablilla. Las dos columnas siguientes
contienen la resolución de triángulos y la cuarta contiane la razón c
con
b identificable con la función
trigonométrica del ángulo A
(~3K)
Plimpton
322. http://www.arrakis.es/~mcj/p322.htm
|
El teorema de Pitágoras
es, sin duda, el teorema más popular de toda la matemática. Ya
se conocía desde tiempo de los babilonios y aparece por primera
vez impreso en la tablilla (aprox. 1900-1600 a.C.) denominada Plimpton
322 (por tener ese número de la colección del mismo nombre)
que se encuentra en la Columbia University Library (N.Y.). En
ella, aparecen cuatro columnas de números entre las que se
desprende un aceptable dominio de las ternas pitagóricas.
La tabla fué descifrada por Neugebauer y Sachs (Mathematical
Cuneiform Texts -1945-) y aquí están las 6 primeras filas
|
Los
números de la columna primera, tercera y cuarta (con fondo
amarillo) son ternas pitagóricas. Parece que los babilonios
llegaron a calcular estos valores según un elaborado
procedimiento algebraico, hecho que no es en absoluto descartable.
Pastor y Babini, refiriéndose a los pitagóricos, dicen:
´´[...aunque
en el estudio de los tripletes no lograron la generalidad de los
babilonios]´´
A partir de la expresión
a 2 + b 2 = c 2
dividiendo ambos miembros por b 2 resulta:
y haciendo el cambio de variable
tenemos u 2 + 1 = v 2 expresión
equivalente a
(v - u)(v + u) = 1
Haciendo el cambio de variable
obtenemos
De esta forma podemos obtener ternas pitagóricas sin más que dar
valores a x e y
|
b |
a |
c |
(c/b) 2 |
δ |
x |
y |
120 |
119 |
169 |
1,9834028 |
45º 14´ 23.038´´ |
12 |
5 |
3456 |
3367 |
4825 |
1,9491586 |
45º 44´ 50.389´´ |
64 |
27 |
4800 |
4601 |
6649 |
1,9188021 |
46º 12´ 45.553´´ |
75 |
32 |
13500 |
12709 |
18541 |
1,8862479 |
46º 43´ 43.28´´ |
125 |
54 |
72 |
65 |
97 |
1,8150077 |
47º 55´ 29.921´´ |
9 |
4 |
360 |
319 |
481 |
1,7851929 |
47º 39´ 53.962´´ |
20 |
9 |
2700 |
2291 |
3541 |
1,7199837 |
--- |
--- |
--- |
960 |
799 |
1249 |
1,6927094 |
--- |
--- |
--- |
600 |
481 |
769 |
1,6426694 |
--- |
--- |
--- |
6480 |
4961 |
8161 |
1,5861226 |
--- |
--- |
--- |
60 |
45 |
75 |
1,562500 |
--- |
--- |
--- |
2400 |
1679 |
2929 |
1,4894168 |
--- |
--- |
--- |
240 |
161 |
289 |
1,4500174 |
--- |
--- |
--- |
2700 |
1771 |
3229 |
1,4302388 |
56º 44´ 17.133´´ |
50 |
27 |
90 |
56 |
106 |
1,3871605 |
58º 6´ 33.15´´ |
9 |
5 |
|
Además
de las tres columnas con las ternas pitagóricas, aparece una
cuarta columna que es la relación, al cuadrado, que existe entre
la hipotenusa y uno de los catetos.
De esta forma podían conocer los ángulos de los triángulos rectágulos
considerados. Podemos observar que la tabla parte de un ángulo
δ de aproximadamente 45º y va aumentando hasta
aproximadamente 60º. Sobre fondo gris están los valores de
δ y los de x e y para calcular los lados del triángulo (En
la tabla sólo aparecen los valores sobre fondo amarillo) |
No
es probable que los babilonios conocieran estas relaciones
trigonométricas, pero pudieron llegar a dicho resultado a partir
de los valores de x e y teniendo en cuenta que
Nota Los valores que
aparecen en la tabla marcados por --- quedan a cargo del lector
interesado |
|
Plimpton
322
Gacetilla Matemática Actualización: 29/07/2001 |
|
BIBLIOGRAFIA
- H Eves, An Introduction to the History of Mathematics, Saunders College Publishing, 1990.
- R J Gillings, The Australian Journal of Science,
16(1953):34-36.
- O Neugebauer, The Exact Sciences in Antiquity, Second ed.,
New York: Harper and Row, 1962. Reprinted by Dover: New York.
- O Neugebauer - A J Sachs, eds.,
Mathematical Cuneiform Texts, American Oriental Series, Vol. 29, New Haven: American Oriental
Society, 1946.
- D J de Solla Price, The Babylonian "Pythagorean Triangle"
Table, Centarus, 10 (1964) 219-231
PAGINAS WEB sobre el tema
-
Plimpton 322 Tablet - [
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PLIMPTON 322. Part 1: Introduction &
bibliography. ... Part 2: Transcriptions of the
tablet. Here's a transcription of the Plimpton 322
tablet using modern digits. ...
aleph0.clarku.edu/~djoyce/mathhist/plimpnote.html
- 13k
Tablilla Plimpton 322
El teorema de Pitágoras
¿Cómo es la tablilla
Plimpton?
Una interpretación
pitagórica
Una interpretación
algebraica
El teorema de Pitágoras
Es indudable que, como en todas las
culturas de la Antigüedad, las
relaciones establecidas entre los lados de un triángulo
rectángulo eran conocidas con
cierto grado de generalidad. Sólo
así es posible entender algunas
aplicaciones y cálculos
efectuados en problemas recogidos sobre diversas tablillas. La
cuestión, como en todas estas
culturas nuevamente, no consistirá
en precisar su aplicabilidad, que suele ser amplia, sino determinar
el grado de generalización
alcanzado ya que cualquier demostración
general parece fuera de su alcance. Las relaciones pitagóricas
presentan una naturaleza funcional, son ante todo instrumentos de cálculo
para resolver problemas y no relaciones que tengan importancia por sí
mismas ante las cuales, en consecuencia, sea preciso determinar
mediante criterios de validación
abstractos su validez general.
Son tan fragmentarios y escasos los datos
encontrados en los restos arqueológicos
que cabe tropezar con aplicaciones faltas de cualquier generalización
y, por el contrario, otras donde se destacan formas de cálculo
sofisticadas para la época. Así,
por ejemplo, en una tablilla del período
seléucida, ya en el primer
milenio, se han encontrado 19 problemas que han sido denominados de
"longitud, anchura y diagonal".
"4 es la longitud, 3 la anchura. ¿Cuál
es la diagonal?. La magnitud es desconocida".
Se presentan dos soluciones a este
problema, en la primera se propone añadir la mitad de la longitud a
la anchura
½ L + A = D
mientras que la segunda resuelve el problema sumando la tercera
parte de la anchura a la longitud
1/3 A + L = D
Evidentemente, estas soluciones sólo
son válidas para triángulos
rectángulos concretos, en
particular el más sencillo
donde A = 3 , L = 4 , D = 5 así
como todos los derivados del mismo multiplicando por un entero
positivo estas dimensiones: (3 k , 4k , 5 k) con k
0 Z+
El período
seléucida es muy tardío
ya que empieza en el siglo IV a.C. con la ocupación
del trono babilónico por el rey
de origen griego Seleuco I. Sin embargo, frente a reglas tan
concretas y de aplicación tan
poco generalizada, se encuentran otros resultados que denotan un
conocimiento mayor y anterior. Así,
en el período babilónico
tardío se encuentra un problema
como:
"Sea una caña de 0;30. Desde arriba,
desciende 0;06. ¿Cuánto se ha
alejado de abajo?".
Considerando
que, en su descenso, la caña de longitud 0;30 forma un triángulo
rectángulo ABC siendo AB, BC los
catetos vertical y horizontal y AC la hipotenusa, la solución
propuesta por el escriba denota un conocimiento general de la relación
de Pitágoras:
1. "Eleva al
cuadrado 0;30, encontrarás
0;15".
AC 2 = 0;302
= 0;15
2. "Resta 0;06
de 0;30, será 0;24".
AB = 0;30 - 0;06 = 0;24
3. "Eleva al
cuadrado 0;24, encontrarás
0;09.36".
AB 2 = 0;242
= 0;09.36
4. "Resta
0;09.36 de 0;15, encontrarás
0;05.24".
BC 2 = AC
2 - AB 2 = 0;15 - 0;09.36 = 0;05.24
5. "¿De qué
es el cuadrado 0;05.24?. De 0;18. Sobre el suelo, está
alejada 0;18".
BC =
%BC 2 =
%0;05.24 = 0;18
Se registra así
una aplicación general de las
relaciones existentes en un triángulo
rectángulo que implica,
naturalmente, el cálculo de raíces
cuadradas. Es indudable que este cálculo
es frecuente en la matemática
mesopotámica en tanto el
área de un campo cuadrado
permite determinar la longitud de su lado o en los planteamientos de
ecuaciones cuadráticas. Que esta
situación estaba presente en la
matemática de esta cultura es
evidente a partir del ejemplo siguiente, donde se puede encontrar
una aproximación numérica
muy exacta al valor de %2.
La
tablilla muestra un cuadrado atravesado por una diagonal dándose
un número (30) que corresponde a
un lado y dos números
interiores:
1.24.51.10
42.25.35
Inmediatamente puede observarse que
30 x 1;24.51.10 = 42;25.35
y que el valor de este factor, cuando se
eleva al cuadrado, es
1;24.51.10 2 = 1;59.59.59.38.01.40
En otras palabras, este factor es una aproximación
a %2, de manera que lo que el
escriba refleja en la tablilla es el lado del cuadrado (30) que al
multiplicarlo por la aproximación
a %2 le permite obtener la
longitud de la diagonal (42;25.35).
Vuelve a surgir así
la cuestión del cálculo
de raíces cuadradas. Existen
bastantes tablillas que muestran en dos columnas distintos números
y sus cuadrados, resultados que pueden invertirse a la hora de
hallar la raíz cuadrada de un número.
Los pequeños errores que se pueden
encontrar en estas tablillas denotan que son ejercicios para
estudiantes en los que estos practicarían
la correspondencia entre unos valores y otros. Sin embargo, mientras
la relación de números
x es correlativa, sus cuadrados dejan, naturalmente, huecos numéricos
entre ellos. Caben, entonces, dos procedimientos aproximativos: O
bien una interpolación lineal
simplemente, lo que dará lugar a
un error no despreciable, o un método
basado en la media armónica que
trabaja explícitamente Diofanto
en el siglo III d.C.
Considérese entonces que ha de
determinarse el valor de %2.
Gracias a la tabla de cuadrados podemos encontrar una primera
aproximación algo grosera pero,
en todo caso, superior al valor buscado. Sea esta aproximación
1;30. Resulta que es 1;30 2 = 2;15
de manera que %2 < 1;30
Si se divide 2 entre la aproximación
postulada: 2 / 1;30 < 2 / %2
= %2 se encuentra entonces
una aproximación a
%2 por defecto, es decir,
2 / 1;30 = 2 x 0;40 = 1;20 < %2
Pues bien, si 1;20 <
%2 < 1;30 una mejor
aproximación será:
½ (1;20 + 1;30) = 1;25 donde 1;25 2
= 2;00.25
Nuevamente, a esta aproximación
por exceso le corresponderá otra
por defecto,
2 / 1;25 = 1;24.42.21...
1;24.42.21
de modo que la media de ambas volverá
a constituir una mejor aproximación:
½ (1;25 + 1;24.42.21...) = 1;24.51.10.35...
que coincide con el valor encontrado en la
tablilla. La coincidencia del resultado alcanzado con el valor
reflejado en la tablilla no es una prueba concluyente de que los
mesopotámicos siguieran esta técnica
de aproximación pero resulta una
hipótesis creíble
y coherente con otras formas de aproximación
registradas en la época.

¿Cómo es la tablilla
Plimpton?
Quizá
la más famosa de las tablillas
mesopotámicas sea una de 13 x 9
cms aproximadamente, excavada de forma ilegal hacia 1920 en las
ruinas de la ciudad de Larsa. Diversos aspectos de la misma, su
aspecto tabular, la distribución
de sus columnas, el período histórico
característico de los documentos
administrativos de Larsa permiten datar esta tablilla dentro de los
sesenta años anteriores a la captura de la ciudad por Hammurabi en
1762 a.C. Es, por tanto, una tablilla del período
babilónico tardío
que fue a parar a manos de un editor neoyorquino, George Arthur
Plimpton y donada a la universidad de Columbia en 1936, a su muerte,
correspondiendo el 322 a su número
de catálogo.
Presenta
cuatro columnas de números que
suelen denominarse, de izquierda a derecha, como I, II, III y IV,
mostrándose el encabezamiento de
las tres últimas columnas, no así
de la primera que presenta, además
de una melladura amplia en la parte superior, la ruptura de la
tablilla en todo el lado izquierdo, siendo muy probable que la tabla
continuara hacia ese lado con nuevas columnas cuya reconstrucción
es objeto de todo tipo de discusiones.
La tablilla presenta los datos numéricos
presentados en la tabla posterior. Hay que tener en cuenta, sin
embargo, que aparecen diversos errores corregidos según
lo presentado por Robson. Respecto a la tabla de Robson, se ha
añadido en negrilla y cursiva, bajo el valor probablemente correcto,
el número erróneo
que aparece realmente en la tablilla.
Las letras que aparecen junto a los
encabezamientos de cada columna son también
actuales mientras que el número
1, que aparece entre paréntesis
en la columna I, corresponde a una hipótesis
que será también
discutida. Por último, a la
derecha de la columna IV, que señala tan sólo
el número de la fila
correlativamente, se ha añadido una quinta columna con un dato hipotético
que podrá entenderse
seguidamente.
I.
(d/l)2
ó
(b/l)2 |
II
b |
III
d |
IV
|
l |
(1) 59 00 15 |
1 59 |
2 49 |
1 |
2 |
(1) 56 56 58 14 50 06
15 |
56 07 |
1 20 25
3.12.01 |
2 |
57 36 |
(1) 55 07 41 15 33 45 |
1 16 41 |
1 50 49 |
3 |
1 20 |
(1) 53 10 29 32 52 16 |
3 31 49 |
5 09 01 |
4 |
3 45 |
(1) 48 54 01 40 |
1 05 |
1 37 |
5 |
1 12 |
(1) 47 06 41 40 |
5 19 |
8 01 |
6 |
6 |
(1) 43 11 56 28 26 40 |
38 11 |
59 01 |
7 |
45 |
(1) 41 33 45 14 03 45
(1) 41 33 59 03 45 |
13 19 |
20 49 |
8 |
16 |
(1) 38 33 36 36 |
8 01
9 01 |
12 49 |
9 |
10 |
(1) 35 10 02 28 27 24
26 40 |
1 22 41 |
2 16 01 |
10 |
1 54 |
(1) 33 45 |
45 |
1 15 |
11 |
1 |
(1) 29 21 54 02 15 |
27 59 |
48 49 |
12 |
40 |
(1) 27 00 03 45
(1) 27 03 45 |
2 41
7 12 01 |
4 49 |
13 |
4 |
(1) 25 48 51 35 06 40 |
29 31 |
53 49 |
14 |
45 |
(1) 23 13 46 40 |
28
56 |
53 |
15 |
45 |
Una interpretación
pitagórica
Aparentemente, los datos numéricos
presentes no siguen un modelo reconocible. Tan sólo
en la más compleja columna I los
números aparecen en forma
decreciente. Sin embargo, es posible, en una segunda lectura,
reconocer el modelo que subyace a los datos presentes. Para
comprobarlo, considérese la fila
1.
Columna II: b = 1.59
Columna III: d = 2.49
Si elevamos al cuadrado ambos números:
b2 = 1.592 = 3.56.01
d2 = 2.492 = 7.56.01
Restando ambas cantidades se obtiene un
cuadrado perfecto, a cuya raíz
cuadrada podemos dar la denominación
de l:
d2 - b2 = 7.56.01 -
3.56.01 = 4.00.00
l = %4.00.00 = 2.00
de forma que se cumpliría
la relación pitagórica
b2 + l2 = d2. Este hecho se puede
comprobar en todos los casos.
Así
pues, la tablilla Plimpton parece ser una colección
de tripletas pitagóricas donde
faltan los valores de uno de los catetos, quizá
presentes en otra columna a la izquierda de los anteriores. Este
hecho viene refrendado en gran medida por los encabezamientos de las
columnas II y III que, respectivamente, vienen a indicar "el
cuadrado del lado corto" y "el cuadrado de la diagonal". En acadio,
la palabra "cuadrado" puede referirse también
al lado de la figura cuadrada.
Sin embargo, no se obtienen tripletas pitagóricas
de una forma aleatoria, máxime
cuando los valores del cateto hipotético
l son relativamente simples pero no así
los correspondientes al otro cateto b ni a la hipotenusa d. Además,
tampoco se observa ni presencia de relaciones pitagóricas
simples (como la más sencilla
3,4,5) ni otras derivadas de las anteriores (para el caso anterior,
6,8,10 ó 9,12,15). Así
pues, debe haber un método que
permita generar tripletas de este tipo de forma que la tablilla sea
una relación de los resultados
obtenidos.
Es por este motivo que Neugebauer postula
el conocimiento de los escribas mesopotámicos
de la relación pitagórica
que puede establecerse entre los tres números
definidos a partir de otros más
básicos p, q siempre que cumplan
dos condiciones:
1) p > q > 0.
2) p y q no tienen divisores
comunes salvo el 1 siendo, por tanto, primos entre sí.
La relación
pitagórica sería:
b = p2 - q2 l = 2 p q
d = p2 + q2
donde b2 + l2 = ( p2 - q2
)2 + ( 2 p q )2 = ( p2 + q2
)2 = d2
A partir de los datos de la tablilla no
resulta complicado hallar los valores p, q que corresponden en cada
caso. Veamos su deducción para
la filas 1
b = p2 - q2 = 1.59
d = p2 + q2 = 2.49
Sumando: 2 p2 =
4.48 p2 = 2.24 p = 12
de
donde: 2.24 + q2 =
2.49 q2 = 25 q = 5
De este modo, se puede defender una tabla
que diera validez a las columnas II y III a partir de los valores
originarios de p y q (tabla inferior). Los valores de p y q resultan
sencillos estando todos incluidos
en las conocidas tablas de recíprocos
que construían en esta
época. Sin embargo, no se
comprende bien por qué escoger
los valores que se presentan o, en otras palabras, qué
criterio consideraría el escriba
para tomar los valores p y q de la forma en que supuestamente lo
hizo.
A este respecto, se ha sugerido que la razón
p/q (columna derecha de la tabla) desciende de forma monótona
desde el primer valor (2;24) hasta el último
(1;48) pero tampoco es posible justificar la importancia de esta
variable p/q, aparentemente no utilizada para formar las tripletas
pitagóricas, ni por qué
debe oscilar específicamente
entre estos valores.
p |
q |
p2 |
q2 |
2pq |
II
p2
- q2 |
III
p2
+ q2 |
IV |
p / q |
12 |
5 |
2 24 |
25 |
2 00 |
1 59 |
2 49 |
1 |
2;24 |
1 04 |
27 |
1 08 16 |
12 09 |
57 36 |
56 07 |
1 20 25 |
2 |
2;22 13 20 |
1 15 |
32 |
1 33 45 |
17 04 |
1 20 00 |
1 16 41 |
1 50 49 |
3 |
2;20 37 30 |
2 05 |
54 |
4 20 25 |
48 36 |
3 45 00 |
3 31 49 |
5 09 01 |
4 |
2;18 53 20 |
9 |
4 |
1 21 |
16 |
1 12 |
1 05 |
1 37 |
5 |
2;15 |
20 |
9 |
6 40 |
1 21 |
6 00 |
5 19 |
8 01 |
6 |
2;13 20 |
54 |
25 |
48 36 |
10 25 |
45 00 |
38 11 |
59 01 |
7 |
2;09 36 |
32 |
15 |
17 04 |
3 45 |
16 00 |
13 19 |
20 49 |
8 |
2;08 |
25 |
12 |
10 25 |
2 24 |
10 00 |
8 01 |
12 49 |
9 |
2;05 |
1 21 |
40 |
1 49 21 |
26 40 |
1 48 00 |
1 22 41 |
2 16 01 |
10 |
2:01 30 |
2 |
1 |
4 |
1 |
4 |
3 |
5 |
11 |
2 |
48 |
25 |
38 24 |
10 25 |
40 00 |
27 59 |
48 49 |
12 |
1;55 12 |
15 |
8 |
3 45 |
1 04 |
4 00 |
2 41 |
4 49 |
13 |
1;52 30 |
50 |
27 |
41 10 |
12 09 |
45 00 |
29 31 |
53 49 |
14 |
1;51 06 40 |
9 |
5 |
1 21 |
25 |
1 30 |
56 |
1 46 |
15 |
1;48 |
Una interpretación
algebraica
La aparente sencillez de los datos numéricos
correspondientes a las columnas II y III junto a la
hipotética columna que diera los
datos del otro cateto l, contrastan con la misteriosa complejidad
que presenta la columna I. Considerando los datos hasta ahora
citados, es decir, la presencia de un triángulo
rectángulo de catetos l (el
mayor) y b (el menor) y de hipotenusa d, los datos de la columna I
presentan dos posibilidades:
1) Pueden corresponder a la operación
( d / l )2 siempre que se considere que falta un uno
sistemáticamente (tal como se
presenta en la primera tabla). Ello es perfectamente admisible por
cuanto esa unidad puede haberse sobreentendido en el momento de
escribir los datos de la columna I.
2) Otra posibilidad es que los datos se ajusten a la operación
( b / l )2, en cuyo caso aparecerían
correctamente escritos sin la unidad antecediéndolos.
La gran extrañeza y el misterio que rodean
a esta tablilla Plimpton reside en la necesidad que tuviera un
escriba, dedicado aparentemente a escribir una relación
de triadas pitagóricas, para
calcular esa expresión. Desde el
punto de vista trigonométrico,
d/l y b/l corresponden a funciones trigonométricas
que estaban lejos de los conocimientos mesopotámicos.
Por ello, la hipótesis inicial
de que la Plimpton fuera una tablilla trigonométrica
ha de ser excluido. Ni tales funciones ni siquiera la noción
de ángulo como tal pertenecían
por entonces al acervo conceptual de la matemática
mesopotámica. Otra cuestión
sería si las relaciones d/l y
b/l fueran importantes por algún
motivo, preludiando entonces de una forma primitiva el concepto de
dichas funciones trigonométricas.
Los datos, hay que reconocer, son
sugerentes. La razón b/l, en su
valor inicial, es casi la unidad (0;59.00.15) correspondiendo
entonces a una figura prácticamente
cuadrada, de manera que el ángulo
α fuera aproximadamente de 45º.
El valor final (0;23.13.46.40) correspondería
a una relación b/l sobre un
ángulo de unos 30º (o 60º
tomando la relación contraria
entre los catetos), con la importante observación
de que la columna I sería
entonces la de los valores de esta relación
entre catetos expresada de un modo monótono
decreciente desde los mencionados 45º hasta los 30º. La regularidad
de tal disminución induce a
sostener, precisamente, que la columna I es la guía
para la obtención de las triadas
pitagóricas que le corresponden.
Pese a ello cabe afirmar que la relación
d/l ó b/l pueda tener
importancia para definir la tabla, no tanto por la perspectiva anacrónica
de que se establezcan unas funciones trigonométricas,
sino por motivos distintos que no tienen nada que ver con ellas.
Friberg
plantea la posibilidad de que los datos en ella encerrados
correspondan a un triángulo rectángulo
"normalizado", entendiendo por tal aquel que se obtiene dividiendo
la longitud b, l, d de los lados de un triángulo
rectángulo por la longitud de
uno de sus catetos (por ejemplo, l).
De este modo, en el nuevo triángulo
deducido del original se cumpliría
la relación pitagórica:
1 + (b/l)2 = (d/l)2
o bien: (d/l)2
- (b/l)2 = 1
Ello justificaría
el cálculo tanto de (b/l)2
como de (d/l)2 en la columna I por motivos distintos de
los trigonométricos. Si lo que
se pretendiese, entonces, es determinar las relaciones existentes en
el triángulo rectángulo
normalizado que puede construirse a partir del más
general (l,b,d) de dimensiones presentes en las columnas II y III,
habrá entonces que justificar la
utilidad de este nuevo triángulo.
¿Para qué les podía
servir el establecimiento de datos del triángulo
rectángulo original y del
normalizado?. ¿Qué aplicaciones
se pueden encontrar a los mismos?.
Hay que tener en cuenta que
(d/l)2 - (b/l)2 = 1 se puede
escribir:
(d/l + b/l) (d/l - b/l) = 1
(d + b / l) (d - b / l) = 1
que denota que ambos números
son recíprocos:
x = d + b / l
1/x = d - b / l
Ahora, si sustituimos b, l, d por su valor
en función de p y q, se
encuentra una interesante simplificación:
x = d + b / l = p2 + q2
+ p2 - q2 / 2pq = 2 p2 / 2 pq = p/q
1/x = d - b / l = p2 + q2 - p2 + q2
/ 2pq = 2 q2 / 2 pq = q/p
Hay que recordar que este valor hipotético
de p/q era, al igual que los valores de la columna I, monótonamente
decreciente desde 2;24 hasta 1;48.
Con estos resultados puede deducirse un
posible camino de construcción
de la tablilla Plimpton.
1) Se consulta inicialmente la tabla de recíprocos
para obtener p y q con p > q > 0. Con ello está
garantizada la división tanto
por p como por q.
2) Se han escogido p y q primos entre sí
para poder formar p/q (que actuará
como x) y su recíproco q/p (que
tomará el papel de 1/x).
3) Se forman, en función de p y
q, los valores característicos
de las tripletas pitagóricas:
b = p2
- q2 l = 2 p q d = p2 + q2
4) Se tiene en cuenta
cualquiera de las dos siguientes posibilidades:
x + 1/x = p/q + q/p = p2
+ q2 / pq = 2 (d / l) = C
x - 1/x = p/q - q/p = p2
- q2 / pq = 2 (b / l) = D
5) Habiendo llamado C o D al resultado habido, resulta que
desarrollando la suma o resta de un término
y su recíproco, resulta
x + 1/x = C
x2 + 1 = C x
x - 1/x =
D x2 - 1 = D x
6) Se tienen así
ecuaciones cuadráticas que
pueden presentarse a los estudiantes para su resolución.
El método que se aplicaba a
dicha resolución implicaba el cálculo
inicial de (½ C)2 o bien (½ D)2 para luego
sumarle la unidad, hallar su raíz
cuadrada y, finalmente, sumarle o restarle el mismo término
(½ C) o (½ D). Ahora bien, ese valor que debe calcular el estudiante
inicialmente es (½ C)2 = (d / l)2
(½ D)2
= (b / l)2
que resulta ser el que se
presenta en la columna I.
Desde el planteamiento de la construcción
del triángulo rectángulo
normalizado, por tanto, se ha podido llegar a postular el hecho de
que los valores presentados en la tablilla Plimpton no respondan tan
sólo al hecho de constituir
triadas pitagóricas, sino que su
funcionalidad se basa en servir de referencia para que el maestro de
escribas, a partir de una serie de valores de una incógnita
x (p/q), pueda construir los términos
necesarios (columna I) para la resolución
de ecuaciones cuadráticas que
proponer a sus estudiantes. |
History and Examples of Tables
http://www.swan.ac.uk/compsci/ResearchGroups/TheoryGroups/AlgMethFolder/DST.html
Plimpton
Tablet - [
Traduzca
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... The Babylonian tablet number 322 in the
GA Plimpton collection at Columbia University,
known as Plimpton 322, is a well studied example of a
mathematical ...
p322
Plimpton 322. El teorema de Pitágoras es,
sin duda, el teorema más
popular de toda la matemática. Ya se conocía ... Plimpton 322.
www.arrakis.es/~mcj/p322.htm - 11k
Plimpton 322 - [
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The Babylonian tablet Plimpton 322. This
mathematical tablet was recovered
from an unknown place in the Iraq desert. It can be determined ...
www.math.ubc.ca/~cass/courses/m446-03/pl322/pl322.html
- 11k
www.swan.ac.uk/.../TheoryGroups/AlgMethFolder/
DSTFolder/HistoryOfTables/Plimpton/Plimpton.html - 6k -
Tables have been used as far back as 1900 B.C. to document mathematical
functions. They have propagated through time to the current day where
tables are widely used in a variety of environments.
A collection of historical and current day tables is given below to
illustrate how widely used they are:
- Historical
- Real World
- Computing Tables
Eleanor Robson and
Plimpton 322
Part IV -
Mathematical
Concepts - Compasses
Robson admits examples of the use of compasses.
-
the
diameter tallum regularly crops up . . . but the radius
pirkum is never mentioned . . .
-
We find
it, for instance, in problems about semicircles . . .
-
(Figure 3)
gives clear evidence that circles could be drawn
with compasses from a central point . . .
-
(The
radius) is never conceptualized as a rotatable line . . .
-
My
argument is certainly not that the radius was not known in the Old
Babylonian period, but simply that it was not central to the ancient
mathematical concept of a circle . . .
-
The Old
Babylonian circle was a figure --- like all OB geometrical figures
--- conceptualized from the outside in . .
.
Her Fig 3 gives an illustration of the use of compasses.
Hoyrup also illustrates the use of compasses, pg 265.

Here I use Hoyrup's Figure 72. I quote from him:
The circle on the obverse of the tablet is drawn
with a compass, and the sides and height of the inscribed triangle
traced after a ruler (and the angle between the height and the base is
as right as can be controlled on the photo). What the text does is to
find the radius r of the circle which is circumscribed about the
double 30—40—50-triangle — which, as pointed out by Bruins in the
commentary, provides us with incontestable evidence that the Susian
calculators of the Old Babylonian age were able to conceptualize both
the circumscribed circle and the height of an isosceles triangle.
This is a remarkable illustration of analytical OB mathematics. We
can see that it refutes Robson's entire line of reasoning about circles.
A radius is defined. Whether Robson sees this as a "rotatable line"
becomes an academic argument. What is meant by that term? When I rotate
a compass I do not see a line dangling from my instrument; I merely
rotate it to create the circle. If I did not use a compass, but put a
peg in the ground, stretched out a string to the radius of my circle,
and then rotated that, would that help Robson understand what a
"rotatable line" is? When I use a compass I do the same thing except
that I have lifted my string off the ground, pinned it to some
convenient handle that preserves proportions, and then rotated the
handle.
Is it possible to rotate a string, or a compass, and not arrive at
the concept of angular measure? Were the ancient OB scribes that
primitive in their thinking? I can go part way around the circle, 1/8 or
1/3 or 3/5 or any measurable amount and I inherently invoke the
idea of angular measure. I can measure that as an angle, or
portions of a radius, radian measure, or portions of a
circumference, inferred radian measure, but I do measure it. The
paucity of circle problems in OB mathematics does not rule out knowledge
of circular measure.
Note that this problem is not set up as a slope problem. It is
not proposed in terms of a vertical distance and horizontal distance,
but has a specified radius. Arguments have raged around Egyptian
understanding of angular measure. Did they know only slopes? We can see
that this one problem, in 1800 BC, shows an understanding of angular
measure. Surely the Egyptians were able to borrow intellectual ideas
from the Mesopotamians.
The Susa tablet sets out a problem with two 3-4-5 triangles to create
an isosceles triangle with sides 50, 50 and 60. (Note the sizing to 30,
40, 50 and 60 susi, or 1, 4/3, 5/3 and 2 cubits.) The problem is to find
the radius of the circle that circumscribes the figure. We can see that
the problem is abstracted into a mathematical statement that does
not require pegs in the ground, strings, or other real paraphernalia.
Most of OB mathematical illustrations are abstracted in like manner. The
dimensions merely provide means to quantify the problem in the mind.
That is the reason OB problems are often illustrated in convenient and
repetitive measurable dimensions. Consider the perfect square in the
preceding paper with 30 susi (1 cubit) on a side, and this illustration
with 30-40-50 susi.
Here is where Robson becomes so adamant about transferring our modern
algebraic notions back to Old Babylon. By habit, it is easy for us to
use algebraic notation to represent their problems and their thinking.
Neugebauer did just that. Hoyrup also employs algebraic notations
because it makes the representation so easy of what and how the OB
scribes thought. Refer to his discussion about this isosceles problem on
pgs 265-268.
This is also where we meet the evidence of the lack of general
procedures. There was no activity in OB mathematics that would
generalize the problems into algebraic notation as a statement. Every
mathematical illustration is real life, hard reality. Nevertheless, the
representation of the problem is abstracted in illustration. This
current problem is not stated in terms of a real circle inscribed in the
earth, but as a general case, with dimensions of 50-50-60. The act of
abstracting to convenient susi shows how they approached these problems.
This raises an important question. Where is the line that divides the
illustration of hard reality from the abstract? The OB scribes could
abstract a practical mathematical question, but why did they not take
the next step and abstract to pure algebraic notation? Especially after
repeated representation of problems.
The easiest way to solve this particular problem is through the
Pythagorean relationship. If we try any other method we quickly become
involved in complex solutions. Hoyrup recognized this fact, pg 266. He
admits to solutions on arithmetical grounds using a rule that Euclid
stated a thousand years later, Elements, II.7. . . . it is
virtually certain that it is already known no later than 2200 BC . . .
See his discussion on pg 267. But this invokes the use of squares
and square roots.
We proceed thusly:
r2 = 302
+ (40-r)2 (stated by
Hoyrup)
But (40-r) = 8 45 in sexagesimal, (or
8.75 in decimal), is given in the problem. Then, calculating decimally:
r2 = 900 + 76.5625 = 976.5625
(I could just as well state this
expression in sexagesimal numbers.)
r = 31.25 or in sexagesimal, 31 15.
The question that now arises is if the circle was first created, and
then the isosceles triangle inserted within the circle. Or was the
isosceles created and the circle circumscribed around it? The clay
figure is heavily damaged, with the Reverse containing numbers that
appear to be intermediate results related to the figure, but so badly
destroyed one cannot make deductions from them. Since the radius is
sought we naturally assume that the isosceles triangle was first set
out, and then the circle circumscribed around it.
The concept of a radius is central to the statement of this problem.
Furthermore, the problem illustrates a conceptualization that requires
recognition of something worked from the inside, not from the outside.
Again Robson reveals her lack of understanding of OB mathematics and her
desire to reduce those ancient Semitic scribes to primitive people.
Note that three points define a circle; we do not know
if the OB scribes knew this. Since they give a distance from the
baseline of the triangle to the center of the circle, they are pointing
us to that center. Once this is known, the compasses can easily find the
radius, and then draw the circle. The problem was to determine the
distance the compasses should be set to obtain the result.
If the OB scribes understood isosceles triangles did
they also understand equilateral triangles? What else was in their
circular and triangular repertoire? This example points to a wider
mathematical knowledge. I get the impression that the extant evidence is
only skimming the surface of OB knowledge.
Los babilonios tenían un sistema numérico
avanzado, en algunos aspectos más avanzado
aún que nuestros sistemas actuales. Era un
sistema posicional en base 60, en lugar de
base 10, que es lo habitual en la
actualidad. Para más detalles sobre los
numerales babilonios, y también para una
discusión sobre las teorías sobre por qué
usaban base 60, vea nuestro artículo sobre
los numerales babilonios.
Los Babilonios dividían el día en 24 horas,
cada hora en 60 minutos y cada minuto en 60
segundos. Esta forma de contar ha
sobrevivido durante 4 000 años. Escribir 5h
25' 30', es decir, 5 horas, 25 minutos, 30
segundos, es equivalente a escribir la
fracción sexagesimal 5 25/ 60
30/ 3600. Adoptamos la
notación 5;25,30 para este número
sexagesimal; para más detalles sobre esta
notación vea nuestro artículo sobre
numerales babilonios. En base 10, el número
sexagesimal 5;25,30 es 5 4/ 10
2/ 100 5/ 1000,
que se escribe 5,425 en notación decimal.
Quizá el aspecto más sorprendente de las
avanzadas habilidades de cálculo babilonias
era la construcción de tablas para facilitar
el cálculo. Dos tabletas halladas en
Senkerah en el Éufrates en 1854 datan de
2000 a. C. proporcionan los cuadrados de los
números hasta el 59 y los cubos de los
números hasta el 32. La tableta da 8 2
=1,4, lo que significa
8 2 = 1,4 = 1×60 + 4 = 64
y así hasta 59 2 = 58,1 (= 58×60 +
1 = 3481).
Los Babilonios usaban la fórmula
ab = [( a+ b) 2
- a2 - b2]/2
para facilitar la multiplicación. Aún mejor
es esta fórmula
ab = [( a+ b) 2
- ( a- b) 2]/4
que muestra que la tabla de cuadrados es
todo lo necesario para multiplicar números,
simplemente restando dos cuadrados mirados
en las tablas y tomando un cuarto del
resultado.
La división es un proceso más complicado.
Los Babilonios no tenían ningún algoritmo
para la división larga. En lugar de ello
basaban su método en el hecho de que
a/ b = a × (1/ b)
de modo que todo sólo era necesaria una
tabla de inversos. Aún tenemos sus tablas de
inversos que alcanzan números hasta varios
miles de millones. Por supuesto, estas
tablas están escritas con sus numerales,
pero usando la notación sexagesimal que
introdujimos anteriormente el principio de
una de estas tablas sería:
2 |
0; 30 |
3 |
0; 20 |
4 |
0; 15 |
5 |
0; 12 |
6 |
0; 10 |
8 |
0; 7, 30 |
9 |
0; 6, 40 |
10 |
0; 6 |
12 |
0; 5 |
15 |
0; 4 |
16 |
0; 3, 45 |
18 |
0; 3, 20 |
20 |
0; 3 |
24 |
0; 2, 30 |
25 |
0; 2, 24 |
27 |
0; 2, 13, 20 |
Ahora bien, la tabla tiene huecos ya que
1/ 7, 1/ 11,
1/ 13, etc. no son
fracciones finitas en base 60. Esto no
significa que los Babilonios no pudieran
calcular, por ejemplo, 1/ 13.
Escribirían:
1/ 13 = 7/ 91
= 7×( 1/ 91) =(aprox.)
7×( 1/ 90)
y estos valores, por ejemplo 1/ 90,
se dan en las tablas. De hecho, hay
fascinantes ejemplos de cómo los Babilonios
trataban con el hecho de que la división
entre 7 llevaría a una fracción sexagesimal
infinita. Un escriba daría un número
aproximado a 1/ 7 y
después escribiría una frase como (ver por
ejemplo [5]):
... se da una aproximación ya que 7
no divide.
Los matemáticos babilonios fueron mucho más
allá de las operaciones aritméticas. En
nuestro artículo sobre
El teorema de Pitágoras en la matemática
babilonica examinamos algunas de sus
ideas sobre geometría y también algunas
ideas básicas sobre teoría de números. En
este artículo examinamos ahora parte del
álgebra desarrollada por los Babilonios, en
particular problemas que llevaron a las
ecuaciones y su solución.
Indicamos anteriormente que los Babilonios
eran famosos como constructores de tablas.
Ahora bien, estas podrían usarse para
resolver ecuaciones. Por ejemplo,
construyeron tablas para n3
+ n2; con la ayuda de
estas tablas se podían resolver algunas
ecuaciones cúbicas. Por ejemplo, considérese
la ecuación
ax3 + bx2
= c
Hay que enfatizar de inmediato que estamos
usando notación moderna y que en los tiempos
babilónicos no existía nada parecido a una
representación simbólica. Sin embargo los
Babilonios podían manejar ejemplos numéricos
de ecuaciones como estas usando reglas que
indican que tenían el concepto de un
problema tipo determinado y un método tipo
para resolverlo. Por ejemplo, en el caso
anterior (usando nuestra notación)
multiplicarían la ecuación por a2
y la dividirían por b2
para obtener
(a ×/ b) 3 + ( ax/ b) 2
= ca2/ b3.
Tomando y = ax/b se obtiene la
ecuación
y3 + y2
= ca2/ b3
que podría resolverse buscando en la tabla
de n3 + n2
el valor de n que satisface n3
+ n2 = ca2/ b3.
Una vez hallada la solución para y,
se hallaba la x haciendo x =
by/a. Hacemos de nuevo hincapié en
que todo esto se hacía sin notación
algebraica, mostrando una comprensión de
notable profundidad.
Una vez más, mirarían una tabla para
resolver la ecuación lineal ax= b.
Consultarían la tabla de 1/ n para
hallar 1/ a y después multiplicar el
número sexagesimal obtenido en la tabla por
b. Un ejemplo de un problema de este
tipo es el siguiente.
Supongamos, escribe un escriba, que tomamos
2/3 de 2/3 de una cierta cantidad de cebada,
se añaden 100 unidades de cebada y se
restaura la cantidad original. El problema
propuesto por el escriba consiste en hallar
la cantidad de cebada. La solución dada por
el escriba consiste en calcular 0;40 por
0;40 para obtener 0;26,40. Restar esto de
1;00 para obtener 0;33,20. Buscar el inverso
de 0;33,20 en una tabla, lo que resulta en
1;48. Multiplicar 1;48 por 1,40 para obtener
la respuesta 3,0.
No es tan fácil entender estos cálculos del
escriba a menos que los traduzcamos a la
notación algebraica moderna. Tenemos que
resolver
(2/3 × 2/3) x + 100 = x
que es, como sabía el escriba, equivalente a
resolver (1 - 4/ 9) x
= 100. Por eso el escriba calcula 2/ 3
× 2/ 3 y sustrae el
resultado de 1 para obtener (1 - 4/ 9);
luego busca 1/(1 - 4/ 9)
y resuelve x multiplicando 1/(1 -
4/ 9) por 100 para dar
180 (que es 1;48 por 1,40, que da 3,0 en
sexagesimal).
Para resolver una ecuación cuadrática los
Babilonios básicamente usaban la fórmula
estándar. Consideraban dos tipos de
ecuaciones cuadráticas, a saber:
x2 + bx = c
y x2 - bx = c
donde b, c son positivos, pero
no necesariamente enteros. La forma de sus
soluciones eran, respectivamente
x = √[( b/2) 2 + c] -
( b/2) y x = √[( b/2) 2
+ c] + ( b/2).
Hay que notar que en cada caso se da la raíz
positiva de las dos raíces de la ecuación
cuadrática, que es la que tendría sentido en
la resolución de problemas 'reales'. Por
ejemplo, los problemas que llevaban a los
Babilonios a estas ecuaciones a menudo se
referían al área de un rectángulo. Por
ejemplo si se da el área y la cantidad en
que la longitud supera al ancho, entonces el
ancho cumple una ecuación cuadrática, y
aplicarían la primera versión de la fórmula
descrita anteriormente.
Un problema de una tableta de la época de la
Antigua Babilonia afirma que el área de un
rectángulo es 1,0 y que su longitud supera a
su ancho por 7. La ecuación
x2 + 7 x = 1,0
por supuesto, no viene dada por el escriba,
quien halla la solución de la siguiente
manera: Calcula la mitad de 7, es decir
3;30, lo eleva al cuadrado para obtener
12;15. A esto el escriba suma 1,0 para
obtener 1,12;15. Halla su raíz cuadrada a
partir de una tabla de cuadrados, obteniendo
8;30. De esto resta 3;30, obteniendo 5 para
el ancho del rectángulo. El escriba ha
resuelto en efecto una ecuación del tipo
x2 + bx = c
usando x = √[( b/2) 2
+ c] - ( b/2).
En [10] Berriman da 13 ejemplos típicos de
problemas procedentes de tabletas de la
Antigua Babilonia que llevan a ecuaciones
cuadráticas.
Si los problemas relacionados con el área de
los rectángulos llevan a ecuaciones
cuadráticas, entonces los problemas
relacionados con el volumen de una
excavación rectangular (un 'sótano') llevan
a ecuaciones cúbicas. La tablilla de arcilla
BM 85200+, que contiene 36 problemas de este
tipo, es el primer intento conocido de
plantear y resolver ecuaciones cúbicas.
Hoyrup analiza esta fascinante tablilla en
[26]. Por supuesto, los Babilonios no
llegaron a descubrir una fórmula genérica
para resolver ecuaciones cúbicas. Esta no se
encontraría hasta bastante después de otros
tres mil años.
Artículo de: J J O'Connor y E F
Robertson
MacTutor History of Mathematics Archive
Bibliografía
- G G Joseph, The crest
of the peacock (London, 1991).
- A E Berriman, The
Babylonian quadratic equation, Math.
Gaz. 40 (1956), 185-192.
- J Hoyrup, The Babylonian
cellar text BM 85200+ VAT 6599.
Retranslation and analysis, Amphora
(Basel, 1992), 315-358.
- K Muroi, Small canal
problems of Babylonian mathematics,
Historia Sci. (2) 1 (3) (1992),
173-180.
Más referencias bibliográficas
(50 libros/artículos)
|
La numeración babilonia
La civilización babilonia de Mesopotamia continuó las
civilizaciones sumeria y acadia. Ciertamente, en
cuanto al sistema numeral los babilonios heredaron ideas
de los Sumerios y de los Acadios. De los sistemas
numerales de estos predecesores provenía la base 60, es
decir, el sistema sexagesimal. Sin embargo, ni el
sistema acadio ni el sumerio eran posicionales, y este
avance de los Babilonios fue indudablemente su mayor
logro en el desarrollo del sistema numérico. Algunos
incluso dirían que fue su mayor logro en matem�ticas.
A menudo, al o�r que el sistema num�rico babil�nico era
de base 60, la primera reacci�n de la gente es: cu�ntos
s�mbolos num�ricos espec�ficos ten�an que haber
aprendido. Por supuesto, este comentario se deriva del
conocimiento de nuestro propio sistema decimal, que es
un sistema posicional con nueve s�mbolos espec�ficos y
un s�mbolo cero para denotar un lugar vac�o. Sin
embargo, en lugar de tener que aprender 10 s�mbolos como
tenemos que hacer nosotros para usar nuestro sistema
decimal, los Babilonios s�lo ten�an que aprender dos s�mbolos
para producir su sistema posicional de base 60.
Ahora bien, aunque el sistema babil�nico era un sistema
posicional de base 60, conten�a ciertos vestigios de un
sistema de base 10. Esto es as� porque cada uno de los
59 n�meros que van en cada posici�n se construye con un
s�mbolo de unidades y otro de decenas.
Estos son los 59 s�mbolos construidos con estos
dos s�mbolos

Los 59 s�mbolos del sistema babilonio
|
Dado un sistema posicional, es necesaria una convenci�n
que determine cu�l de los extremos corresponde a las
unidades. Por ejemplo, en decimal 12345 representa
1 � 104 + 2 � 10 3 + 3 � 102
+ 4 � 10 + 5.
Pensando en ello, es quiz� il�gico, puesto que leemos de
izquierda a derecha as� que al leer el primer d�gito no
conocemos su valor hasta haber le�do el n�mero completo
para determinar qu� potencia de 10 est� asociada a esta
primera posici�n. El sistema posicional sexagesimal
babil�nico ordena los n�meros con esta misma convenci�n,
de modo que la posici�n del extremo de la derecha es
para las unidades hasta 59, la siguiente hacia la
izquierda representa 60 � n con 1 ≤ n &le
59, etc. Adoptando la notaci�n que separa los numerales
con comas tenemos que, por ejemplo, 1,57,46,40
representa el n�mero sexagesimal
1 � 603 + 57 � 602 + 46 � 60 +
40
que, en notaci�n decimal, es 424 000.
Este es 1,57,46,40 en numerales babilonicos
Ahora bien, existe un problema en potencia con este
sistema. Puesto que el dos se representa por dos
guarismos cada uno de los cuales representa una unidad y
61 se representa por un guarismo uno en la primera
posici�n para la unidad y otro guarismo id�ntico de una
unidad en la segunda posici�n, los n�meros sexagesimales
babilonios 1,1 y 2 tienen en esencia la misma
representaci�n. Sin embargo, esto no supon�a un problema
en realidad ya que el espaciado de los guarismos
permit�a distinguirlos. En el s�mbolo de 2, los dos
guarismos que representan la unidad se tocan, haciendo
un �nico s�mbolo. En el n�mero 1,1 hay un espacio entre
ellos.
Un problema mucho m�s grave era que no hab�a un cero
para colocar en las posiciones vac�as. Los n�meros
sexagesimales 1 y 1,0 (1 y 60 respectivamente en
decimal) ten�an exactamente la misma representaci�n y el
espaciado no serv�a de ayuda en este caso. El contexto
lo aclaraba y, de hecho, aunque esto parezca muy poco
satisfactorio no podr�a haber sido considerado as� por
los Babilonios. �C�mo lo sabemos? Bien, si realmente les
pareciese que el sistema presentaba ambig�edades habr�an
resuelto el problema: no cabe duda de que pose�an las
habilidades necesarias para encontrar una soluci�n si el
sistema hubiera sido impracticable. Quiz� deber�amos
mencionar que los Babilonios tard�os inventaron un
s�mbolo para indicar una posici�n vac�a, as� que es
posible que la carencia de un cero no fuese totalmente
satisfactoria para ellos.
Asimismo, una posici�n vac�a en el interior de un n�mero
daba problemas. Aunque no es un comentario muy serio,
quiz� merezca la pena hacer notar que si suponemos que
todos los d�gitos tienen la misma probabilidad de
aparecer en un n�mero, en nuestro sistema digital hay
una probabilidad entre diez de tener una posici�n vac�a,
mientras que para los Babilonios con su sistema
sexagesimal esta probabilidad era de una entre sesenta.
Volviendo a las posiciones vac�as en el interior de un
n�mero, podemos examinar ejemplos reales en los que
ocurre esto.
Este es un ejemplo de una tableta cuneiforme
(concretamente AO 17264 en la colecci�n del Louvre,
Par�s) en el cual se realizan los c�lculos para elevar
147 al cuadrado. En sexagesimal 147 = 2,27, y al
cuadrado da 21 609 = 6,0,9.
Este el ejemplo babil�nico de 2,27 al cuadrado
Quiz� el escriba dej� un poco m�s de espacio entre el 6
y el 9 que si estuviera representando 6,9.
Y si la posici�n vac�a resultaba problem�tica con los
enteros, era a�n peor con las fracciones babil�nicas.
Los babilonios usaban un sistema de fracciones
sexagesimales similar a nuestras fracciones decimales.
Por ejemplo, si escribimos 0,125 entonces tenemos 1/ 10
+ 2/ 100 + 5/ 1000
= 1/ 8. Por supuesto, una fracci�n
de la forma a/ b, en
su forma reducida, puede representarse como una fracci�n
decimal finita si, y solo si, b no tiene
divisores primos distintos de 2 y 5. As�, 1/ 3
no tiene fracci�n decimal finita. An�logamente, la
fracci�n sexagesimal babil�nica 0;7,30 representaba
7/ 60 + 30/ 3600,
que en nuestra notaci�n resulta tambi�n 1/ 8.
Puesto que 60 es divisible por los factores primos 2, 3
y 5, una fracci�n de la forma a/ b,
en su forma reducida, puede representarse como una
fracci�n decimal finita si, y solo si, b no tiene
divisores primos distintos de 2, 3 y 5. Por lo tanto hay
m�s fracciones que pueden representarse como fracciones
sexagesimales finitas que como fracciones decimales
finitas. Algunos historiadores creen que esta
observaci�n influy� en que los Babilonios desarrollasen
el sistema sexagesimal, en lugar del decimal, pero esto
no parece probable. Si tal fuera el caso, �por qu� no
usar base 30? M�s adelante discutiremos este problema
con m�s detalle.
Hemos sugerido ya la notaci�n que utilizaremos para
denotar un n�mero sexagesimal con parte fraccionaria.
Como ejemplo, 10,12,5;1,52,30 representa
10 � 602 + 12 � 60 + 5 + 1/60
+ 52/602 + 30/603
que en nuestra notaci�n es 36725 1/ 32.
Esto est� bien, pero hemos introducido la notaci�n del
punto y coma para indicar d�nde termina la parte entera
y comienza la parte decimal. Es la 'coma sexagesimal', y
desempe�a un papel equivalente a la coma decimal. Sin
embargo, los Babilonios no ten�an ninguna notaci�n para
indicar d�nde terminaba la parte entera y empezaba la
parte fraccionaria. Por tanto, hab�a mucha ambig�edad y
la filosof�a de 'el contexto lo aclara' empieza a
parecer muy precaria. Si escribo 10,12,5,1,52,30 sin
notaci�n para la 'coma sexagesimal' podr�a referirse a
cualquiera de los siguientes n�meros:
0;10,12, 5, 1,52,30
10;12, 5, 1,52,30
10,12; 5, 1,52,30
10,12, 5; 1,52,30
10,12, 5, 1;52,30
10,12, 5, 1,52;30
10,12, 5, 1,52,30
adem�s de, por supuesto, 10, 12, 5, 1, 52, 30, 0 � 0
; 0, 10, 12, 5, 1, 52, 30 etc.
Finalmente deber�amos considerar la cuesti�n de por qu�
los Babilonios usaban un sistema num�rico de base 60. La
respuesta sencilla es que heredaron la base 60 de los
Sumerios, pero eso no sirve de nada. S�lo nos lleva a
preguntar por qu� los Sumerios usaban base 60. El primer
comentario ser�a que no tenemos que seguir
retrocediendo, ya que podemos estar bastante seguros de
que el sistema sexagesimal se inici� con los Sumerios.
El segundo punto es que los matem�ticos modernos no han
sido los primeros en hacer esta pregunta. Theon de
Alejandr�a intent� responder esta pregunta en el siglo
IV a. de C. y muchos historiadores de las matem�ticas
han propuesto sus opiniones desde entonces, sin que
nadie haya llegado a dar una respuesta realmente
convincente.
La respuesta de Theon era que 60 es el menor n�mero
divisible por 1, 2, 3, 4 y 5 de modo que se maximizaba
el n�mero de divisores. Aunque esto es cierto, parece
una raz�n demasiado acad�mica. Base 12 ser�a una
candidata m�s probable si esta fuese la raz�n, pero
ninguna civilizaci�n importante parece haber utilizado
esta base. Por otro lado, muchas unidades de medida
involucran el n�mero 12; por ejemplo, se da
frecuentemente en subdivisiones de pesos, monedas y
longitudes. Por ejemplo, en las antiguas medidas
brit�nicas hab�a doce pulgadas en un pie, doce peniques
en un chel�n, etc.
Neugebauer propuso una teor�a basada en los pesos y
medidas que usaban los Sumerios. Su idea es,
b�sicamente, que un sistema decimal se modific� a base
60 para permitir dividir los pesos y medidas en tercios.
Sabemos con certeza que el sistema de pesos y medidas de
los Sumerios usaba 1/ 3 y 2/3
como fracciones b�sicas. Sin embargo, aunque puede que
Neugebauer tenga raz�n, el contra argumento ser�a que el
sistema de pesos y medidas era consecuencia del sistema
num�rico, en lugar de al contrario.
Algunas teor�as se han basado en eventos astron�micos.
La sugerencia de que 60 es el producto del n�mero de
meses en el a�o (lunas por a�o) por el n�mero de
planetas (Mercurio, Venus, Marte, J�piter, Saturno)
tambi�n parece demasiado precario como justificaci�n de
la base 60. El historiador de las matem�ticas Moritz
Cantor sugiri� que una posible raz�n para usar base 60
era que se pensaba que el a�o ten�a 360 d�as. Una vez
m�s, esta idea no resulta convincente, ya que los
Sumerios sab�an con certeza que el a�o dura m�s de 360
d�as. Otra hip�tesis se refiere a que el Sol recorre 720
veces su di�metro en un d�a, y como el d�a sumerio ten�a
12 horas, se llega f�cilmente al 60.
Algunas teor�as se basan en la geometr�a. Por ejemplo,
una teor�a es que el tri�ngulo equil�tero era
considerado por los Sumerios el bloque constructivo
geom�trico fundamental. Los �ngulos de un tri�ngulo
equil�tero son de 60�, as� que divididos en 10 partes la
unidad angular b�sica ser�a de 6�. Ahora bien, hay 60 de
estas unidades b�sicas en una circunferencia, de modo
que tenemos la raz�n propuesta para elegir 60 como base.
Pero este argumento pr�cticamente se contradice a s�
mismo, ya que �presupone que la unidad b�sica de
divisi�n es 10!
Yo [EFR] opino que todas estas razones no merecen
consideraci�n seria. Quiz�s haya trucado un poco mi
razonamiento, pero la frase que he utilizado 'elegir 60
como base' es muy significativa. Simplemente, no creo
que ninguna civilizaci�n haya elegido nunca un n�mero
como base. �Puede imaginarse a los Sumerios formando un
comit� para decidir qu� n�mero usar como base? No, las
cosas no ocurrieron as�. La raz�n tiene que estar
relacionada con la manera en la que se empez� a contar
en la civilizaci�n sumeria, al igual que 10 fue la base
en otras civilizaciones que empezaron a contar con los
dedos de las manos, y veinte fue la base para los que
contaban los dedos de pies y manos.
He aqu� una manera en la que esto podr�a haber sucedido:
se puede contar hasta 60 usando las dos manos. En la
mano izquierda cada dedo tiene tres partes (excluyendo
el pulgar). Las partes est�n separadas por las
articulaciones de los dedos. Se puede contar hasta 60
apuntando a cada una de las 12 partes de los dedos de la
mano izquierda (sin contar el pulgar) con cada uno de
los 5 dedos de la mano derecha. De este modo se cuenta
con los dedos hasta 60 en lugar de hasta 10.
�Convincente?
Una variante de esta proposici�n ha sido propuesta. La
teor�a aparentemente m�s aceptada propone que la
civilizaci�n sumeria debe de haber resultado de la uni�n
de dos pueblos, uno de los cuales contaban en base 12 y
el otro en base 5. Aunque 5 no es ni de lejos tan com�n
como 10 como base entre pueblos antiguos, no es
infrecuente y es utilizada por gentes que cuentan con
los dedos de una mano. Esta teor�a supone que despu�s de
la uni�n de los dos pueblos, al usarse los dos sistemas
al comerciar entre s�, el sistema de base 60 surgir�a de
forma natural como el sistema entendido por todos.
Tambi�n he o�do esta teor�a propuesta con los dos
pueblos que se mezclan que usaban bases 10 y 6. Esta
versi�n tiene la ventaja de que hay una unidad natural
para 10 en el sistema babil�nico, y se podr�a decir que
es una reminiscencia del sistema decimal anterior. Una
de las ventajas de estas teor�as es que es posible que
se hallen pruebas documentales de los dos sistemas que
se entremezclaron, lo que probar�a las conjeturas. No
hay que pensar en la historia como un tema muerto. Al
contrario, nuestros puntos de vista cambian
continuamente a medida que las �ltimas investigaciones
aportan nuevas pruebas e interpretaciones.
Art�culo de: J J O'Connor y E F Robertson
MacTutor History of Mathematics Archive
Bibliograf�a
Libros
- A Aaboe, Episodes from the Early History of
Mathematics (1964).
- R Calinger, A conceptual history of
mathematics (Upper Straddle River, N. J.,
1999).
- G Ifrah, A universal history of numbers :
From prehistory to the invention of the computer
(London, 1998).
- G G Joseph, The crest of the peacock
(London, 1991).
- O Neugebauer and A Sachs, Mathematical
Cuneiform Texts (New Haven, CT., 1945).
- B L van der Waerden, Science Awakening
(Groningen, 1954).
- B L van der Waerden, Geometry and Algebra
in Ancient Civilizations (New York, 1983).
Art�culos:
- J Hoyrup, Babylonian mathematics, in I
Grattan-Guinness (ed.), Companion
Encyclopedia of the History and Philosophy of
the Mathematical Sciences (London, 1994),
21-29.
- J Friberg, Methods and traditions of
Babylonian mathematics. Plimpton 322,
Pythagorean triples, and the Babylonian triangle
parameter equations, Historia Mathematica
8 (1981), 277-318.
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