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                        LA TABLILLA PLIMPTON 322 :La resolución del Teorema de Pitágoras"antes de Pitágoras

    (o lo que los griegos no contaron :Donde lo habían conocido. Llamándolo por su nombre: El "plagio  que Pitágoras hizo de conocimientos  sumerio-babilonios más de mil años anteriores)

pyth plimpton

www.uned.es/.../PLIMPTONGRANDE6.htm

 Aproximadamente medio millón de tablillas paleobabilónicas de barro, escritas en cuneiforme, se han encontrado en las excavaciones de Mesopotamia desde mediado del  pasado siglo XIX d.C.

 De ellas, una 400 contienen listas de problemas matemáticos y  tablas matemáticas y muchas de ellas se pueden ver en los museos de  Paris, Berlín  y Londres así como en las colecciones de la Universidades de  Yale, Columbia y la  Universidad de  Pennsylvania.

Los  Babilonios, ya desde la I Dinastía ( su sexto rey fue Hammurabi) , usaban, como sus antepasados sumerios más de 1500 años antes, el sistema sexagesimal , es decir, de base 6. Así, si vemos unos números escritos 

1,4,6;30,2

debemos entenderlo como 
(1*(60*60)) + (4*60) + (6) + (30*1/60) + (2*1/(60*60))

 

La tablilla babilónica  322  en la colección de G A Plimpton , en la  Columbia University, conocida como Plimpton 322,  escrita en cinco columnas , es un magnífico ejemplo de una tablilla matemática escrita por los babilonios.

Se puede ver http://www.sciences-en-ligne.com/momo/chronomath/anx3/plimpton.html 

 una foto de la tablilla original.

 

 

 

 

Original Babylonian tablet.(~72K)

Por su estilo de escritura pertenece a la época Paleobabilónica  (h. 1900-1600 a.C,) y fue publicada por primera vez por  Neugebauer  y Sachs[1946].

En la trascripción de la tablilla, están los números babilonios y la trascripción decimal al lado.

Las dos columnas de enmedio corresponden al desarrollo de una integral  de triángulos con cuatro excepciones (marcadas con  *) que se han corregido aquí. La alteración en las líneas novena, décimotercera y decimoquinta están  explicadas fácilmente, pero la alteración de la segunda línea es más compleja( R J Gillings[1953] or O Neugebauer[1962]).

sec a c
1;59,0,15 (1.9834) 1,59 (119) 2,49 (169) 1
1;56,56,58,14,50,6,15 (1.9492) 56,7 (3367) 1,20,25 (4825) * 2
1;55,7,41,15,33,45 (1.9188) 1,16,41 (4601) 1,50,49 (6649) 3
1;53,10,29,32,52,16 (1.8862) 3,31,49 (12709) 5,9,1 (18541) 4
1;48,54,1,40 (1.8150) 1,5 (65) 1,37 (97) 5
1;47,6,41,40 (1.7852) 5,19 (319) 8,1 (481) 6
1;43,11,56,28,26,40 (1.7200) 38,11 (2291) 59,1 (3541) 7
1;41,33,59,3,45 (1.6928) 13,19 (799) 20,49 (1249) 8
1;38,33,36,36 (1.6427) 8,1 (481) * 12,49 (769) 9
1;35,10,2,28,27,24,26,40 (1.5861) 1,22,41 (4961) 2,16,1 (8161) 10
1;33,45 (1.5625) 45,0 (45) 1,15,0 (75) 11
1;29,21,54,2,15 (1.4894) 27,59 (1679) 48,49 (2929) 12
1;27,0,3,45 (1.4500) 2,41 (161) * 4,49 (289) 13
1;25,48,51,35,6,40 (1.4302) 29,31 (1771) 53,49 (3229) 14
1;23,13,46,40 (1.3872) 56 (56) 1,46 (106) * 15

La primera coluna enumera o es el ïndice del contenido de la tablilla. Las dos columnas siguientes contienen la resolución de triángulos y la cuarta contiane la razón  c   con  b  identificable con la función trigonométrica del ángulo A

A right-angled triangle.(~3K)
  Plimpton 322.  http://www.arrakis.es/~mcj/p322.htm
Tabla Plimpton 322
El teorema de Pitágoras es, sin duda, el teorema más popular de toda la matemática. Ya se conocía desde tiempo de los babilonios y aparece por primera vez impreso en la tablilla (aprox. 1900-1600 a.C.) denominada Plimpton 322 (por tener ese número de la colección del mismo nombre) que se encuentra en la Columbia University Library (N.Y.). En ella, aparecen cuatro columnas de números entre las que se desprende un aceptable dominio de las ternas pitagóricas.
La tabla fué descifrada por Neugebauer y Sachs (Mathematical Cuneiform Texts -1945-) y aquí  están las 6 primeras filas

Los números de la columna primera, tercera y cuarta (con fondo amarillo) son ternas pitagóricas. Parece que los babilonios llegaron a calcular estos valores según un elaborado procedimiento algebraico, hecho que no es en absoluto descartable. Pastor y Babini, refiriéndose a los pitagóricos, dicen: ´´[...aunque en el estudio de los tripletes no lograron la generalidad de los babilonios]´´
A partir de la expresión
a 2 + b 2 = c 2
dividiendo ambos miembros por b 2 resulta:
y haciendo el cambio de variable tenemos u 2 + 1 = v 2 expresión equivalente a
(v - u)(v + u) = 1
Haciendo el cambio de variable
obtenemos
De esta forma podemos obtener ternas pitagóricas sin más que dar valores a x e y

b a c (c/b) 2 δ x y
120 119 169 1,9834028 45º 14´ 23.038´´ 12 5
3456 3367 4825 1,9491586 45º 44´ 50.389´´ 64 27
4800 4601 6649 1,9188021 46º 12´ 45.553´´ 75 32
13500 12709 18541 1,8862479 46º 43´ 43.28´´ 125 54
72 65 97 1,8150077 47º 55´ 29.921´´ 9 4
360 319 481 1,7851929 47º 39´ 53.962´´ 20 9
2700 2291 3541 1,7199837 --- --- ---
960 799 1249 1,6927094 --- --- ---
600 481 769 1,6426694 --- --- ---
6480 4961 8161 1,5861226 --- --- ---
60 45 75 1,562500 --- --- ---
2400 1679 2929 1,4894168 --- --- ---
240 161 289 1,4500174 --- --- ---
2700 1771 3229 1,4302388 56º 44´ 17.133´´ 50 27
90 56 106 1,3871605 58º 6´ 33.15´´ 9 5
Además de las tres columnas con las ternas pitagóricas, aparece una cuarta columna que es la relación, al cuadrado, que existe entre la hipotenusa y uno de los catetos.
De esta forma podían conocer los ángulos de los triángulos rectágulos considerados. Podemos observar que la tabla parte de un ángulo δ de aproximadamente 45º y va aumentando hasta aproximadamente 60º. Sobre fondo gris están los valores de δ y los de x e y para calcular los lados del triángulo (En la tabla sólo aparecen los valores sobre fondo amarillo)

No es probable que los babilonios conocieran estas relaciones trigonométricas, pero pudieron llegar a dicho resultado a partir de los valores de x e y teniendo en cuenta que

 

Nota   Los valores que aparecen en la tabla marcados por --- quedan a cargo del lector interesado

 
  Plimpton 322    Gacetilla Matemática Actualización: 29/07/2001
 

 

BIBLIOGRAFIA

  • H Eves, An Introduction to the History of Mathematics, Saunders College Publishing, 1990.
  • R J Gillings, The Australian Journal of Science, 16(1953):34-36.
  • O Neugebauer, The Exact Sciences in Antiquity, Second ed., New York: Harper and Row, 1962. Reprinted by Dover: New York.
  • O Neugebauer - A J Sachs, eds., Mathematical Cuneiform Texts, American Oriental Series, Vol. 29, New Haven: American Oriental Society, 1946.
  • D J de Solla Price, The Babylonian "Pythagorean Triangle" Table, Centarus, 10 (1964) 219-231

PAGINAS WEB sobre el tema

  • Plimpton 322 Tablet - [ Traduzca esta página ]
    PLIMPTON 322. Part 1: Introduction & bibliography. ... Part 2: Transcriptions of the
    tablet. Here's a transcription of the Plimpton 322 tablet using modern digits. ...
    aleph0.clarku.edu/~djoyce/mathhist/plimpnote.html - 13k

  Tablilla Plimpton 322

                         El teorema de Pitágoras
                         ¿Cómo es la tablilla Plimpton?
                         Una interpretación pitagórica
                   
     Una interpretación algebraica

                         El teorema de Pitágoras

Es indudable que, como en todas las culturas de la Antigüedad, las relaciones establecidas entre los lados de un triángulo rectángulo eran conocidas con cierto grado de generalidad. Sólo así es posible entender algunas aplicaciones y cálculos efectuados en problemas recogidos sobre diversas tablillas. La cuestión, como en todas estas culturas nuevamente, no consistirá en precisar su aplicabilidad, que suele ser amplia, sino determinar el grado de generalización alcanzado ya que cualquier demostración general parece fuera de su alcance. Las relaciones pitagóricas presentan una naturaleza funcional, son ante todo instrumentos de cálculo para resolver problemas y no relaciones que tengan importancia por sí mismas ante las cuales, en consecuencia, sea preciso determinar mediante criterios de validación abstractos su validez general.

Son tan fragmentarios y escasos los datos encontrados en los restos arqueológicos que cabe tropezar con aplicaciones faltas de cualquier generalización y, por el contrario, otras donde se destacan formas de cálculo sofisticadas para la época. Así, por ejemplo, en una tablilla del período seléucida, ya en el primer milenio, se han encontrado 19 problemas que han sido denominados de "longitud, anchura y diagonal".

"4 es la longitud, 3 la anchura. ¿Cuál es la diagonal?. La magnitud es desconocida".

Se presentan dos soluciones a este problema, en la primera se propone añadir la mitad de la longitud a la anchura
                                                                      ½ L + A = D
mientras que la segunda resuelve el problema sumando la tercera parte de la anchura a la longitud
                                                                     1/3 A + L = D
Evidentemente, estas soluciones sólo son válidas para triángulos rectángulos concretos, en particular el más sencillo donde          A = 3 , L = 4 , D = 5        así como todos los derivados del mismo multiplicando por un entero positivo estas dimensiones:     (3 k , 4k , 5 k) con k 0 Z
+

El período seléucida es muy tardío ya que empieza en el siglo IV a.C. con la ocupación del trono babilónico por el rey de origen griego Seleuco I. Sin embargo, frente a reglas tan concretas y de aplicación tan poco generalizada, se encuentran otros resultados que denotan un conocimiento mayor y anterior. Así, en el período babilónico tardío se encuentra un problema como:

"Sea una caña de 0;30. Desde arriba, desciende 0;06. ¿Cuánto se ha alejado de abajo?".

Considerando que, en su descenso, la caña de longitud 0;30 forma un triángulo rectángulo ABC siendo AB, BC los catetos vertical y horizontal y AC la hipotenusa, la solución propuesta por el escriba denota un conocimiento general de la relación de Pitágoras:

1. "Eleva al cuadrado 0;30, encontrarás 0;15".
                                    AC 2 = 0;302 = 0;15

2. "Resta 0;06 de 0;30, será 0;24".
                                   AB = 0;30 - 0;06 = 0;24

3. "Eleva al cuadrado 0;24, encontrarás 0;09.36".
                                  AB 2 = 0;242 = 0;09.36

4. "Resta 0;09.36 de 0;15, encontrarás 0;05.24".
                                                BC 2 = AC 2 - AB 2 = 0;15 - 0;09.36 = 0;05.24

5. "¿De qué es el cuadrado 0;05.24?. De 0;18. Sobre el suelo, está alejada 0;18".
                                                            BC = %BC 2 = %0;05.24 = 0;18

Se registra así una aplicación general de las relaciones existentes en un triángulo rectángulo que implica, naturalmente, el cálculo de raíces cuadradas. Es indudable que este cálculo es frecuente en la matemática mesopotámica en tanto el área de un campo cuadrado permite determinar la longitud de su lado o en los planteamientos de ecuaciones cuadráticas. Que esta situación estaba presente en la matemática de esta cultura es evidente a partir del ejemplo siguiente, donde se puede encontrar una aproximación numérica muy exacta al valor de %2.

La tablilla muestra un cuadrado atravesado por una diagonal dándose un número (30) que corresponde a un lado y dos números interiores:
                                                     1.24.51.10
                                                       42.25.35

Inmediatamente puede observarse que

30 x 1;24.51.10 = 42;25.35

y que el valor de este factor, cuando se eleva al cuadrado, es
                     1;24.51.10 2 = 1;59.59.59.38.01.40
En otras palabras, este factor es una aproximación a %2, de manera que lo que el escriba refleja en la tablilla es el lado del cuadrado (30) que al multiplicarlo por la aproximación a %2 le permite obtener la longitud de la diagonal (42;25.35).

Vuelve a surgir así la cuestión del cálculo de raíces cuadradas. Existen bastantes tablillas que muestran en dos columnas distintos números y sus cuadrados, resultados que pueden invertirse a la hora de hallar la raíz cuadrada de un número.

Los pequeños errores que se pueden encontrar en estas tablillas denotan que son ejercicios para estudiantes en los que estos practicarían la correspondencia entre unos valores y otros. Sin embargo, mientras la relación de números x es correlativa, sus cuadrados dejan, naturalmente, huecos numéricos entre ellos. Caben, entonces, dos procedimientos aproximativos: O bien una interpolación lineal simplemente, lo que dará lugar a un error no despreciable, o un método basado en la media armónica que trabaja explícitamente Diofanto en el siglo III d.C.
Considérese entonces que ha de determinarse el valor de %2. Gracias a la tabla de cuadrados podemos encontrar una primera aproximación algo grosera pero, en todo caso, superior al valor buscado. Sea esta aproximación 1;30. Resulta que es         1;30 2 = 2;15
de manera que %2 < 1;30

Si se divide 2 entre la aproximación postulada:         2 / 1;30 < 2 / %2 = %2      se encuentra entonces una aproximación a %2 por defecto, es decir,      2 / 1;30 = 2 x 0;40 = 1;20 < %2

Pues bien, si 1;20 < %2 < 1;30   una mejor aproximación será:

½ (1;20 + 1;30) = 1;25 donde 1;25 2 = 2;00.25

Nuevamente, a esta aproximación por exceso le corresponderá otra por defecto,

2 / 1;25 = 1;24.42.21...
1;24.42.21

de modo que la media de ambas volverá a constituir una mejor aproximación:

½ (1;25 + 1;24.42.21...) = 1;24.51.10.35...

que coincide con el valor encontrado en la tablilla. La coincidencia del resultado alcanzado con el valor reflejado en la tablilla no es una prueba concluyente de que los mesopotámicos siguieran esta técnica de aproximación pero resulta una hipótesis creíble y coherente con otras formas de aproximación registradas en la época.


                         ¿Cómo es la tablilla Plimpton?

Quizá la más famosa de las tablillas mesopotámicas sea una de 13 x 9 cms aproximadamente, excavada de forma ilegal hacia 1920 en las ruinas de la ciudad de Larsa. Diversos aspectos de la misma, su aspecto tabular, la distribución de sus columnas, el período histórico característico de los documentos administrativos de Larsa permiten datar esta tablilla dentro de los sesenta años anteriores a la captura de la ciudad por Hammurabi en 1762 a.C. Es, por tanto, una tablilla del período babilónico tardío que fue a parar a manos de un editor neoyorquino, George Arthur Plimpton y donada a la universidad de Columbia en 1936, a su muerte, correspondiendo el 322 a su número de catálogo.

Presenta cuatro columnas de números que suelen denominarse, de izquierda a derecha, como I, II, III y IV, mostrándose el encabezamiento de las tres últimas columnas, no así de la primera que presenta, además de una melladura amplia en la parte superior, la ruptura de la tablilla en todo el lado izquierdo, siendo muy probable que la tabla continuara hacia ese lado con nuevas columnas cuya reconstrucción es objeto de todo tipo de discusiones.

La tablilla presenta los datos numéricos presentados en la tabla posterior. Hay que tener en cuenta, sin embargo, que aparecen diversos errores corregidos según lo presentado por Robson.  Respecto a la tabla de Robson, se ha añadido en negrilla y cursiva, bajo el valor probablemente correcto, el número erróneo que aparece realmente en la tablilla.

Las letras que aparecen junto a los encabezamientos de cada columna son también actuales mientras que el número 1, que aparece entre paréntesis en la columna I, corresponde a una hipótesis que será también discutida. Por último, a la derecha de la columna IV, que señala tan sólo el número de la fila correlativamente, se ha añadido una quinta columna con un dato hipotético que podrá entenderse seguidamente.

I.

(d/l)2 ó (b/l)2

II

b

III

d

IV

 

 

l

(1) 59 00 15

1 59

2 49

1

2

(1) 56 56 58 14 50 06 15

56 07

1 20 25

3.12.01

2

57 36

(1) 55 07 41 15 33 45

1 16 41

1 50 49

3

1 20

(1) 53 10 29 32 52 16

3 31 49

5 09 01

4

3 45

(1) 48 54 01 40

1 05

1 37

5

1 12

(1) 47 06 41 40

5 19

8 01

6

6

(1) 43 11 56 28 26 40

38 11

59 01

7

45

(1) 41 33 45 14 03 45

(1) 41 33 59 03 45

13 19

20 49

8

16

(1) 38 33 36 36

8 01

9 01

12 49

9

10

(1) 35 10 02 28 27 24 26 40

1 22 41

2 16 01

10

1 54

(1) 33 45

45

1 15

11

1

(1) 29 21 54 02 15

27 59

48 49

12

40

(1) 27 00 03 45

(1) 27 03 45

2 41

7 12 01

4 49

13

4

(1) 25 48 51 35 06 40

29 31

53 49

14

45

(1) 23 13 46 40

28

56

53

15

45


                         Una interpretación pitagórica

Aparentemente, los datos numéricos presentes no siguen un modelo reconocible. Tan sólo en la más compleja columna I los números aparecen en forma decreciente. Sin embargo, es posible, en una segunda lectura, reconocer el modelo que subyace a los datos presentes. Para comprobarlo, considérese la fila 1.

Columna II: b = 1.59
Columna III: d = 2.49

Si elevamos al cuadrado ambos números:

b2 = 1.592 = 3.56.01
d2 = 2.492 = 7.56.01

Restando ambas cantidades se obtiene un cuadrado perfecto, a cuya raíz cuadrada podemos dar la denominación de l:

d2 - b2 = 7.56.01 - 3.56.01 = 4.00.00
l = %4.00.00 = 2.00

de forma que se cumpliría la relación pitagórica b2 + l2 = d2. Este hecho se puede comprobar en todos los casos.

Así pues, la tablilla Plimpton parece ser una colección de tripletas pitagóricas donde faltan los valores de uno de los catetos, quizá presentes en otra columna a la izquierda de los anteriores. Este hecho viene refrendado en gran medida por los encabezamientos de las columnas II y III que, respectivamente, vienen a indicar "el cuadrado del lado corto" y "el cuadrado de la diagonal". En acadio, la palabra "cuadrado" puede referirse también al lado de la figura cuadrada.

Sin embargo, no se obtienen tripletas pitagóricas de una forma aleatoria, máxime cuando los valores del cateto hipotético l son relativamente simples pero no así los correspondientes al otro cateto b ni a la hipotenusa d. Además, tampoco se observa ni presencia de relaciones pitagóricas simples (como la más sencilla 3,4,5) ni otras derivadas de las anteriores (para el caso anterior, 6,8,10 ó 9,12,15). Así pues, debe haber un método que permita generar tripletas de este tipo de forma que la tablilla sea una relación de los resultados obtenidos.

Es por este motivo que Neugebauer postula el conocimiento de los escribas mesopotámicos de la relación pitagórica que puede establecerse entre los tres números definidos a partir de otros más básicos p, q siempre que cumplan dos condiciones:

  • 1) p > q > 0.

  • 2) p y q no tienen divisores comunes salvo el 1 siendo, por tanto, primos entre sí.

  • La relación pitagórica sería:

    b = p2 - q2 l = 2 p q d = p2 + q2
    donde b2 + l2 = ( p2 - q2 )2 + ( 2 p q )2 = ( p2 + q2 )2 = d
    2

    A partir de los datos de la tablilla no resulta complicado hallar los valores p, q que corresponden en cada caso. Veamos su deducción para la filas 1

    b = p2 - q2 = 1.59
    d = p2 + q2 = 2.49

    Sumando:                                        2 p2 = 4.48 p2 = 2.24 p = 12

    de donde:                                      2.24 + q2 = 2.49 q2 = 25 q = 5

    De este modo, se puede defender una tabla que diera validez a las columnas II y III a partir de los valores originarios de p y q (tabla inferior). Los valores de p y q resultan sencillos estando todos incluidos en las conocidas tablas de recíprocos que construían en esta época. Sin embargo, no se comprende bien por qué escoger los valores que se presentan o, en otras palabras, qué criterio consideraría el escriba para tomar los valores p y q de la forma en que supuestamente lo hizo.

    A este respecto, se ha sugerido que la razón p/q (columna derecha de la tabla) desciende de forma monótona desde el primer valor (2;24) hasta el último (1;48) pero tampoco es posible justificar la importancia de esta variable p/q, aparentemente no utilizada para formar las tripletas pitagóricas, ni por qué debe oscilar específicamente entre estos valores.

    p

    q

    p2

    q2

    2pq

    II

    p2 - q2

    III

    p2 + q2

    IV

    p / q

    12

    5

    2 24

    25

    2 00

    1 59

    2 49

    1

    2;24

    1 04

    27

    1 08 16

    12 09

    57 36

    56 07

    1 20 25

    2

    2;22 13 20

    1 15

    32

    1 33 45

    17 04

    1 20 00

    1 16 41

    1 50 49

    3

    2;20 37 30

    2 05

    54

    4 20 25

    48 36

    3 45 00

    3 31 49

    5 09 01

    4

    2;18 53 20

    9

    4

    1 21

    16

    1 12

    1 05

    1 37

    5

    2;15

    20

    9

    6 40

    1 21

    6 00

    5 19

    8 01

    6

    2;13 20

    54

    25

    48 36

    10 25

    45 00

    38 11

    59 01

    7

    2;09 36

    32

    15

    17 04

    3 45

    16 00

    13 19

    20 49

    8

    2;08

    25

    12

    10 25

    2 24

    10 00

    8 01

    12 49

    9

    2;05

    1 21

    40

    1 49 21

    26 40

    1 48 00

    1 22 41

    2 16 01

    10

    2:01 30

    2

    1

    4

    1

    4

    3

    5

    11

    2

    48

    25

    38 24

    10 25

    40 00

    27 59

    48 49

    12

    1;55 12

    15

    8

    3 45

    1 04

    4 00

    2 41

    4 49

    13

    1;52 30

    50

    27

    41 10

    12 09

    45 00

    29 31

    53 49

    14

    1;51 06 40

    9

    5

    1 21

    25

    1 30

    56

    1 46

    15

    1;48


                       
         Una interpretación algebraica

    La aparente sencillez de los datos numéricos correspondientes a las columnas II y III junto a la hipotética columna que diera los datos del otro cateto l, contrastan con la misteriosa complejidad que presenta la columna I. Considerando los datos hasta ahora citados, es decir, la presencia de un triángulo rectángulo de catetos l (el mayor) y b (el menor) y de hipotenusa d, los datos de la columna I presentan dos posibilidades:

    1) Pueden corresponder a la operación ( d / l )2 siempre que se considere que falta un uno sistemáticamente (tal como se presenta en la primera tabla). Ello es perfectamente admisible por cuanto esa unidad puede haberse sobreentendido en el momento de escribir los datos de la columna I.
    2) Otra posibilidad es que los datos se ajusten a la operación ( b / l )2, en cuyo caso aparecerían correctamente escritos sin la unidad antecediéndolos.

    La gran extrañeza y el misterio que rodean a esta tablilla Plimpton reside en la necesidad que tuviera un escriba, dedicado aparentemente a escribir una relación de triadas pitagóricas, para calcular esa expresión. Desde el punto de vista trigonométrico, d/l y b/l corresponden a funciones trigonométricas que estaban lejos de los conocimientos mesopotámicos. Por ello, la hipótesis inicial de que la Plimpton fuera una tablilla trigonométrica ha de ser excluido. Ni tales funciones ni siquiera la noción de ángulo como tal pertenecían por entonces al acervo conceptual de la matemática mesopotámica. Otra cuestión sería si las relaciones d/l y b/l fueran importantes por algún motivo, preludiando entonces de una forma primitiva el concepto de dichas funciones trigonométricas.

    Los datos, hay que reconocer, son sugerentes. La razón b/l, en su valor inicial, es casi la unidad (0;59.00.15) correspondiendo entonces a una figura prácticamente cuadrada, de manera que el ángulo α fuera aproximadamente de 45º. El valor final (0;23.13.46.40) correspondería a una relación b/l sobre un ángulo de unos 30º (o 60º tomando la relación contraria entre los catetos), con la importante observación de que la columna I sería entonces la de los valores de esta relación entre catetos expresada de un modo monótono decreciente desde los mencionados 45º hasta los 30º. La regularidad de tal disminución induce a sostener, precisamente, que la columna I es la guía para la obtención de las triadas pitagóricas que le corresponden.

    Pese a ello cabe afirmar que la relación d/l ó b/l pueda tener importancia para definir la tabla, no tanto por la perspectiva anacrónica de que se establezcan unas funciones trigonométricas, sino por motivos distintos que no tienen nada que ver con ellas.

    Friberg plantea la posibilidad de que los datos en ella encerrados correspondan a un triángulo rectángulo "normalizado", entendiendo por tal aquel que se obtiene dividiendo la longitud b, l, d de los lados de un triángulo rectángulo por la longitud de uno de sus catetos (por ejemplo, l).

    De este modo, en el nuevo triángulo deducido del original se cumpliría la relación pitagórica:
    1 + (b/l)2 = (d/l)
    2
    o bien:   (d/l)2 - (b/l)2 = 1

    Ello justificaría el cálculo tanto de (b/l)2 como de (d/l)2 en la columna I por motivos distintos de los trigonométricos. Si lo que se pretendiese, entonces, es determinar las relaciones existentes en el triángulo rectángulo normalizado que puede construirse a partir del más general (l,b,d) de dimensiones presentes en las columnas II y III, habrá entonces que justificar la utilidad de este nuevo triángulo. ¿Para qué les podía servir el establecimiento de datos del triángulo rectángulo original y del normalizado?. ¿Qué aplicaciones se pueden encontrar a los mismos?.

    Hay que tener en cuenta que              (d/l)2 - (b/l)2 = 1           se puede escribir:

    (d/l + b/l) (d/l - b/l) = 1
    (d + b / l) (d - b / l) = 1

    que denota que ambos números son recíprocos:

    x = d + b / l
    1/x = d - b / l

    Ahora, si sustituimos b, l, d por su valor en función de p y q, se encuentra una interesante simplificación:

    x = d + b / l = p2 + q2 + p2 - q2 / 2pq = 2 p2 / 2 pq = p/q
    1/x = d - b / l = p2 + q2 - p2 + q2 / 2pq = 2 q2 / 2 pq = q/p

    Hay que recordar que este valor hipotético de p/q era, al igual que los valores de la columna I, monótonamente decreciente desde 2;24 hasta 1;48.

    Con estos resultados puede deducirse un posible camino de construcción de la tablilla Plimpton.

    1) Se consulta inicialmente la tabla de recíprocos para obtener p y q con p > q > 0. Con ello está garantizada la división tanto por p como por q.
    2) Se han escogido p y q primos entre sí para poder formar p/q (que actuará como x) y su recíproco q/p (que tomará el papel de 1/x).
    3) Se forman, en función de p y q, los valores característicos de las tripletas pitagóricas:
                                                            b = p2 - q2 l = 2 p q d = p2 + q
    2
    4) Se tiene en cuenta cualquiera de las dos siguientes posibilidades:
                                           x + 1/x = p/q + q/p = p2 + q2 / pq = 2 (d / l) = C
                                            x - 1/x = p/q - q/p = p2 - q2 / pq = 2 (b / l) = D
    5) Habiendo llamado C o D al resultado habido, resulta que desarrollando la suma o resta de un término y su recíproco, resulta
                                                             x + 1/x = C x2 + 1 = C x
                                                              x - 1/x = D x2 - 1 = D x

    6) Se tienen así ecuaciones cuadráticas que pueden presentarse a los estudiantes para su resolución. El método que se aplicaba a dicha resolución implicaba el cálculo inicial de (½ C)2 o bien (½ D)2 para luego sumarle la unidad, hallar su raíz cuadrada y, finalmente, sumarle o restarle el mismo término (½ C) o (½ D). Ahora bien, ese valor que debe calcular el estudiante inicialmente es      (½ C)2 = (d / l)2
                
    (½ D)2 = (b / l)2
    que resulta ser el que se presenta en la columna I.

    Desde el planteamiento de la construcción del triángulo rectángulo normalizado, por tanto, se ha podido llegar a postular el hecho de que los valores presentados en la tablilla Plimpton no respondan tan sólo al hecho de constituir triadas pitagóricas, sino que su funcionalidad se basa en servir de referencia para que el maestro de escribas, a partir de una serie de valores de una incógnita x (p/q), pueda construir los términos necesarios (columna I) para la resolución de ecuaciones cuadráticas que proponer a sus estudiantes.

     

     

     

     

     

    History and Examples of Tables

    http://www.swan.ac.uk/compsci/ResearchGroups/TheoryGroups/AlgMethFolder/DST.html

    Plimpton Tablet - [ Traduzca esta página ]
    ... The Babylonian tablet number 322 in the GA Plimpton collection at Columbia University,
    known as Plimpton 322, is a well studied example of a mathematical ...

    p322
    Plimpton 322. El teorema de Pitágoras es, sin duda, el teorema más
    popular de toda la matemática. Ya se conocía ... Plimpton 322.
    www.arrakis.es/~mcj/p322.htm - 11k

    Plimpton 322 - [ Traduzca esta página ]
    The Babylonian tablet Plimpton 322. This mathematical tablet was recovered
    from an unknown place in the Iraq desert. It can be determined ...
    www.math.ubc.ca/~cass/courses/m446-03/pl322/pl322.html - 11k

     


    www.swan.ac.uk/.../TheoryGroups/AlgMethFolder/ DSTFolder/HistoryOfTables/Plimpton/Plimpton.html - 6k -

    Tables have been used as far back as 1900 B.C. to document mathematical functions. They have propagated through time to the current day where tables are widely used in a variety of environments.
    A collection of historical and current day tables is given below to illustrate how widely used they are:


    Eleanor Robson and Plimpton 322

    Part IV - Mathematical Concepts - Compasses

    Robson admits examples of the use of compasses.

    • the diameter tallum regularly crops up . . . but the radius pirkum is never mentioned . . .

    • We find it, for instance, in problems about semicircles . . .

    • (Figure 3) gives clear evidence that circles could be drawn with compasses from a central point . . .

    • (The radius) is never conceptualized as a rotatable line . . .

    • My argument is certainly not that the radius was not known in the Old Babylonian period, but simply that it was not central to the ancient mathematical concept of a circle . . .

    • The Old Babylonian circle was a figure --- like all OB geometrical figures --- conceptualized from the outside in . . .

    Her Fig 3 gives an illustration of the use of compasses. Hoyrup also illustrates the use of compasses, pg 265.

    Here I use Hoyrup's Figure 72. I quote from him:

    The circle on the obverse of the tablet is drawn with a compass, and the sides and height of the inscribed triangle traced after a ruler (and the angle between the height and the base is as right as can be controlled on the photo). What the text does is to find the radius r of the circle which is circumscribed about the double 30—40—50-triangle — which, as pointed out by Bruins in the commentary, provides us with incontestable evidence that the Susian calculators of the Old Babylonian age were able to conceptualize both the circumscribed circle and the height of an isosceles triangle.

    This is a remarkable illustration of analytical OB mathematics. We can see that it refutes Robson's entire line of reasoning about circles. A radius is defined. Whether Robson sees this as a "rotatable line" becomes an academic argument. What is meant by that term? When I rotate a compass I do not see a line dangling from my instrument; I merely rotate it to create the circle. If I did not use a compass, but put a peg in the ground, stretched out a string to the radius of my circle, and then rotated that, would that help Robson understand what a "rotatable line" is? When I use a compass I do the same thing except that I have lifted my string off the ground, pinned it to some convenient handle that preserves proportions, and then rotated the handle.

    Is it possible to rotate a string, or a compass, and not arrive at the concept of angular measure? Were the ancient OB scribes that primitive in their thinking? I can go part way around the circle, 1/8 or 1/3 or 3/5 or any measurable amount and I inherently invoke the idea of angular measure. I can measure that as an angle, or portions of a radius, radian measure, or portions of a circumference, inferred radian measure, but I do measure it. The paucity of circle problems in OB mathematics does not rule out knowledge of circular measure.

    Note that this problem is not set up as a slope problem. It is not proposed in terms of a vertical distance and horizontal distance, but has a specified radius. Arguments have raged around Egyptian understanding of angular measure. Did they know only slopes? We can see that this one problem, in 1800 BC, shows an understanding of angular measure. Surely the Egyptians were able to borrow intellectual ideas from the Mesopotamians.

    The Susa tablet sets out a problem with two 3-4-5 triangles to create an isosceles triangle with sides 50, 50 and 60. (Note the sizing to 30, 40, 50 and 60 susi, or 1, 4/3, 5/3 and 2 cubits.) The problem is to find the radius of the circle that circumscribes the figure. We can see that the problem is abstracted into a mathematical statement that does not require pegs in the ground, strings, or other real paraphernalia. Most of OB mathematical illustrations are abstracted in like manner. The dimensions merely provide means to quantify the problem in the mind. That is the reason OB problems are often illustrated in convenient and repetitive measurable dimensions. Consider the perfect square in the preceding paper with 30 susi (1 cubit) on a side, and this illustration with 30-40-50 susi.

    Here is where Robson becomes so adamant about transferring our modern algebraic notions back to Old Babylon. By habit, it is easy for us to use algebraic notation to represent their problems and their thinking. Neugebauer did just that. Hoyrup also employs algebraic notations because it makes the representation so easy of  what and how the OB scribes thought. Refer to his discussion about this isosceles problem on pgs 265-268.

    This is also where we meet the evidence of the lack of general procedures. There was no activity in OB mathematics that would generalize the problems into algebraic notation as a statement. Every mathematical illustration is real life, hard reality. Nevertheless, the representation of the problem is abstracted in illustration. This current problem is not stated in terms of a real circle inscribed in the earth, but as a general case, with dimensions of 50-50-60. The act of abstracting to convenient susi shows how they approached these problems.

    This raises an important question. Where is the line that divides the illustration of hard reality from the abstract? The OB scribes could abstract a practical mathematical question, but why did they not take the next step and abstract to pure algebraic notation? Especially after repeated representation of problems.

    The easiest way to solve this particular problem is through the Pythagorean relationship. If we try any other method we quickly become involved in complex solutions. Hoyrup recognized this fact, pg 266. He admits to solutions on arithmetical grounds using a rule that Euclid stated a thousand years later, Elements, II.7. . . . it is virtually certain that it is already known no later than 2200 BC . . . See his discussion on pg 267. But this invokes the use of squares and square roots.

    We proceed thusly:

    r2  = 302  + (40-r)2 (stated by Hoyrup)

    But (40-r) = 8 45 in sexagesimal, (or 8.75 in decimal), is given in the problem. Then, calculating decimally:

    r2 = 900 + 76.5625 = 976.5625

    (I could just as well state this expression in sexagesimal numbers.)

    r = 31.25 or in sexagesimal, 31 15.

    The question that now arises is if the circle was first created, and then the isosceles triangle inserted within the circle. Or was the isosceles created and the circle circumscribed around it? The clay figure is heavily damaged, with the Reverse containing numbers that appear to be intermediate results related to the figure, but so badly destroyed one cannot make deductions from them. Since the radius is sought we naturally assume that the isosceles triangle was first set out, and then the circle circumscribed around it.

    The concept of a radius is central to the statement of this problem. Furthermore, the problem illustrates a conceptualization that requires recognition of something worked from the inside, not from the outside. Again Robson reveals her lack of understanding of OB mathematics and her desire to reduce those ancient Semitic scribes to primitive people.

    Note that three points define a circle; we do not know if the OB scribes knew this. Since they give a distance from the baseline of the triangle to the center of the circle, they are pointing us to that center. Once this is known, the compasses can easily find the radius, and then draw the circle. The problem was to determine the distance the compasses should be set to obtain the result.

    If the OB scribes understood isosceles triangles did they also understand equilateral triangles? What else was in their circular and triangular repertoire? This example points to a wider mathematical knowledge. I get the impression that the extant evidence is only skimming the surface of OB knowledge.

     


    http://redraven.garcia-cuervo.com/delco.htm
     
    http://nti.educa.rcanaria.es/fundoro/mujeres_web.pdf
     
    http://usuarios.lycos.es/juanbeltran/id342.htm
     
    http://www.mat.usach.cl/histmat/html/indice.html
     
    http://www.egiptologia.org/ciencia/matematicas/bibliografia.htm
     
    http://www.egiptologia.org/ciencia/matematicas/default.htm
     
    http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Indexes/Babylonians.html
     
    http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/HistTopics/Babylonian_numerals.html
     
    Los babilonios tenían un sistema numérico avanzado, en algunos aspectos más avanzado aún que nuestros sistemas actuales. Era un sistema posicional en base 60, en lugar de base 10, que es lo habitual en la actualidad. Para más detalles sobre los numerales babilonios, y también para una discusión sobre las teorías sobre por qué usaban base 60, vea nuestro artículo sobre los numerales babilonios.

    Los Babilonios dividían el día en 24 horas, cada hora en 60 minutos y cada minuto en 60 segundos. Esta forma de contar ha sobrevivido durante 4 000 años. Escribir 5h 25' 30', es decir, 5 horas, 25 minutos, 30 segundos, es equivalente a escribir la fracción sexagesimal 5 25/60 30/3600. Adoptamos la notación 5;25,30 para este número sexagesimal; para más detalles sobre esta notación vea nuestro artículo sobre numerales babilonios. En base 10, el número sexagesimal 5;25,30 es 5 4/10 2/100 5/1000, que se escribe 5,425 en notación decimal.

    Quizá el aspecto más sorprendente de las avanzadas habilidades de cálculo babilonias era la construcción de tablas para facilitar el cálculo. Dos tabletas halladas en Senkerah en el Éufrates en 1854 datan de 2000 a. C. proporcionan los cuadrados de los números hasta el 59 y los cubos de los números hasta el 32. La tableta da 82 =1,4, lo que significa

    82 = 1,4 = 1×60 + 4 = 64

    y así hasta 592 = 58,1 (= 58×60 + 1 = 3481).

    Los Babilonios usaban la fórmula

    ab = [(a+b)2 - a2 - b2]/2

    para facilitar la multiplicación. Aún mejor es esta fórmula

    ab = [(a+b)2 - (a-b)2]/4

    que muestra que la tabla de cuadrados es todo lo necesario para multiplicar números, simplemente restando dos cuadrados mirados en las tablas y tomando un cuarto del resultado.

    La división es un proceso más complicado. Los Babilonios no tenían ningún algoritmo para la división larga. En lugar de ello basaban su método en el hecho de que

    a/b = a × (1/b)

    de modo que todo sólo era necesaria una tabla de inversos. Aún tenemos sus tablas de inversos que alcanzan números hasta varios miles de millones. Por supuesto, estas tablas están escritas con sus numerales, pero usando la notación sexagesimal que introdujimos anteriormente el principio de una de estas tablas sería:

     
    2 0; 30
    3 0; 20
    4 0; 15
    5 0; 12
    6 0; 10
    8 0; 7, 30
    9 0; 6, 40
    10 0; 6
    12 0; 5
    15 0; 4
    16 0; 3, 45
    18 0; 3, 20
    20 0; 3
    24 0; 2, 30
    25 0; 2, 24
    27 0; 2, 13, 20


    Ahora bien, la tabla tiene huecos ya que 1/7, 1/11, 1/13, etc. no son fracciones finitas en base 60. Esto no significa que los Babilonios no pudieran calcular, por ejemplo, 1/13. Escribirían:

    1/13 = 7/91 = 7×( 1/91) =(aprox.) 7×( 1/90)

    y estos valores, por ejemplo 1/90, se dan en las tablas. De hecho, hay fascinantes ejemplos de cómo los Babilonios trataban con el hecho de que la división entre 7 llevaría a una fracción sexagesimal infinita. Un escriba daría un número aproximado a 1/7 y después escribiría una frase como (ver por ejemplo [5]):
     
    ... se da una aproximación ya que 7 no divide.

    Los matemáticos babilonios fueron mucho más allá de las operaciones aritméticas. En nuestro artículo sobre El teorema de Pitágoras en la matemática babilonica examinamos algunas de sus ideas sobre geometría y también algunas ideas básicas sobre teoría de números. En este artículo examinamos ahora parte del álgebra desarrollada por los Babilonios, en particular problemas que llevaron a las ecuaciones y su solución.

    Indicamos anteriormente que los Babilonios eran famosos como constructores de tablas. Ahora bien, estas podrían usarse para resolver ecuaciones. Por ejemplo, construyeron tablas para n3 + n2; con la ayuda de estas tablas se podían resolver algunas ecuaciones cúbicas. Por ejemplo, considérese la ecuación

    ax3 + bx2 = c

    Hay que enfatizar de inmediato que estamos usando notación moderna y que en los tiempos babilónicos no existía nada parecido a una representación simbólica. Sin embargo los Babilonios podían manejar ejemplos numéricos de ecuaciones como estas usando reglas que indican que tenían el concepto de un problema tipo determinado y un método tipo para resolverlo. Por ejemplo, en el caso anterior (usando nuestra notación) multiplicarían la ecuación por a2 y la dividirían por b2 para obtener

    (a×/b)3 + (ax/b)2 = ca2/b3.

    Tomando y = ax/b se obtiene la ecuación

    y3 + y2 = ca2/b3

    que podría resolverse buscando en la tabla de n3 + n2 el valor de n que satisface n3 + n2 = ca2/b3. Una vez hallada la solución para y, se hallaba la x haciendo x = by/a. Hacemos de nuevo hincapié en que todo esto se hacía sin notación algebraica, mostrando una comprensión de notable profundidad.

    Una vez más, mirarían una tabla para resolver la ecuación lineal ax=b. Consultarían la tabla de 1/n para hallar 1/a y después multiplicar el número sexagesimal obtenido en la tabla por b. Un ejemplo de un problema de este tipo es el siguiente.

    Supongamos, escribe un escriba, que tomamos 2/3 de 2/3 de una cierta cantidad de cebada, se añaden 100 unidades de cebada y se restaura la cantidad original. El problema propuesto por el escriba consiste en hallar la cantidad de cebada. La solución dada por el escriba consiste en calcular 0;40 por 0;40 para obtener 0;26,40. Restar esto de 1;00 para obtener 0;33,20. Buscar el inverso de 0;33,20 en una tabla, lo que resulta en 1;48. Multiplicar 1;48 por 1,40 para obtener la respuesta 3,0.

    No es tan fácil entender estos cálculos del escriba a menos que los traduzcamos a la notación algebraica moderna. Tenemos que resolver

    (2/3 × 2/3)x + 100 = x

    que es, como sabía el escriba, equivalente a resolver (1 - 4/9)x = 100. Por eso el escriba calcula 2/3 × 2/3 y sustrae el resultado de 1 para obtener (1 - 4/9); luego busca 1/(1 - 4/9) y resuelve x multiplicando 1/(1 - 4/9) por 100 para dar 180 (que es 1;48 por 1,40, que da 3,0 en sexagesimal).

    Para resolver una ecuación cuadrática los Babilonios básicamente usaban la fórmula estándar. Consideraban dos tipos de ecuaciones cuadráticas, a saber:

    x2 + bx = c y x2 - bx = c

    donde b, c son positivos, pero no necesariamente enteros. La forma de sus soluciones eran, respectivamente

    x = √[(b/2)2 + c] - (b/2) y x = √[(b/2)2 + c] + (b/2).

    Hay que notar que en cada caso se da la raíz positiva de las dos raíces de la ecuación cuadrática, que es la que tendría sentido en la resolución de problemas 'reales'. Por ejemplo, los problemas que llevaban a los Babilonios a estas ecuaciones a menudo se referían al área de un rectángulo. Por ejemplo si se da el área y la cantidad en que la longitud supera al ancho, entonces el ancho cumple una ecuación cuadrática, y aplicarían la primera versión de la fórmula descrita anteriormente.

    Un problema de una tableta de la época de la Antigua Babilonia afirma que el área de un rectángulo es 1,0 y que su longitud supera a su ancho por 7. La ecuación

    x2 + 7x = 1,0

    por supuesto, no viene dada por el escriba, quien halla la solución de la siguiente manera: Calcula la mitad de 7, es decir 3;30, lo eleva al cuadrado para obtener 12;15. A esto el escriba suma 1,0 para obtener 1,12;15. Halla su raíz cuadrada a partir de una tabla de cuadrados, obteniendo 8;30. De esto resta 3;30, obteniendo 5 para el ancho del rectángulo. El escriba ha resuelto en efecto una ecuación del tipo x2 + bx = c usando x = √[(b/2)2 + c] - (b/2).

    En [10] Berriman da 13 ejemplos típicos de problemas procedentes de tabletas de la Antigua Babilonia que llevan a ecuaciones cuadráticas.

    Si los problemas relacionados con el área de los rectángulos llevan a ecuaciones cuadráticas, entonces los problemas relacionados con el volumen de una excavación rectangular (un 'sótano') llevan a ecuaciones cúbicas. La tablilla de arcilla BM 85200+, que contiene 36 problemas de este tipo, es el primer intento conocido de plantear y resolver ecuaciones cúbicas. Hoyrup analiza esta fascinante tablilla en [26]. Por supuesto, los Babilonios no llegaron a descubrir una fórmula genérica para resolver ecuaciones cúbicas. Esta no se encontraría hasta bastante después de otros tres mil años.

    Artículo de: J J O'Connor y E F Robertson
    MacTutor History of Mathematics Archive

     
      Bibliografía
    1. G G Joseph, The crest of the peacock (London, 1991).
       
    2. A E Berriman, The Babylonian quadratic equation, Math. Gaz. 40 (1956), 185-192.
       
    3. J Hoyrup, The Babylonian cellar text BM 85200+ VAT 6599. Retranslation and analysis, Amphora (Basel, 1992), 315-358.
       
    4. K Muroi, Small canal problems of Babylonian mathematics, Historia Sci. (2) 1 (3) (1992), 173-180.

      Más referencias bibliográficas (50 libros/artículos)
       

     

     

     

     

    La numeración babilonia

     

    La civilización babilonia de Mesopotamia continuó las civilizaciones sumeria y acadia.  Ciertamente, en cuanto al sistema numeral los babilonios heredaron ideas de los Sumerios y de los Acadios. De los sistemas numerales de estos predecesores provenía la base 60, es decir, el sistema sexagesimal. Sin embargo, ni el sistema acadio ni el sumerio eran posicionales, y este avance de los Babilonios fue indudablemente su mayor logro en el desarrollo del sistema numérico. Algunos incluso dirían que fue su mayor logro en matem�ticas.

    A menudo, al o�r que el sistema num�rico babil�nico era de base 60, la primera reacci�n de la gente es: cu�ntos s�mbolos num�ricos espec�ficos ten�an que haber aprendido. Por supuesto, este comentario se deriva del conocimiento de nuestro propio sistema decimal, que es un sistema posicional con nueve s�mbolos espec�ficos y un s�mbolo cero para denotar un lugar vac�o. Sin embargo, en lugar de tener que aprender 10 s�mbolos como tenemos que hacer nosotros para usar nuestro sistema decimal, los Babilonios s�lo ten�an que aprender dos s�mbolos para producir su sistema posicional de base 60.

    Ahora bien, aunque el sistema babil�nico era un sistema posicional de base 60, conten�a ciertos vestigios de un sistema de base 10. Esto es as� porque cada uno de los 59 n�meros que van en cada posici�n se construye con un s�mbolo de unidades y otro de decenas.

    Estos son los 59 s�mbolos construidos con estos dos s�mbolos

     
    Los 59 s�mbolos del sistema babilonio
     
    Los 59 s�mbolos del sistema babilonio



    Dado un sistema posicional, es necesaria una convenci�n que determine cu�l de los extremos corresponde a las unidades. Por ejemplo, en decimal 12345 representa
     
    1 � 104 + 2 � 10 3 + 3 � 102 + 4 � 10 + 5.

    Pensando en ello, es quiz� il�gico, puesto que leemos de izquierda a derecha as� que al leer el primer d�gito no conocemos su valor hasta haber le�do el n�mero completo para determinar qu� potencia de 10 est� asociada a esta primera posici�n. El sistema posicional sexagesimal babil�nico ordena los n�meros con esta misma convenci�n, de modo que la posici�n del extremo de la derecha es para las unidades hasta 59, la siguiente hacia la izquierda representa 60 � n con 1 ≤ n &le 59, etc. Adoptando la notaci�n que separa los numerales con comas tenemos que, por ejemplo, 1,57,46,40 representa el n�mero sexagesimal
     
    1 � 603 + 57 � 602 + 46 � 60 + 40

    que, en notaci�n decimal, es 424 000.

    Este es 1,57,46,40 en numerales babilonicos

     

     

    Ahora bien, existe un problema en potencia con este sistema. Puesto que el dos se representa por dos guarismos cada uno de los cuales representa una unidad y 61 se representa por un guarismo uno en la primera posici�n para la unidad y otro guarismo id�ntico de una unidad en la segunda posici�n, los n�meros sexagesimales babilonios 1,1 y 2 tienen en esencia la misma representaci�n. Sin embargo, esto no supon�a un problema en realidad ya que el espaciado de los guarismos permit�a distinguirlos. En el s�mbolo de 2, los dos guarismos que representan la unidad se tocan, haciendo un �nico s�mbolo. En el n�mero 1,1 hay un espacio entre ellos.

    Un problema mucho m�s grave era que no hab�a un cero para colocar en las posiciones vac�as. Los n�meros sexagesimales 1 y 1,0 (1 y 60 respectivamente en decimal) ten�an exactamente la misma representaci�n y el espaciado no serv�a de ayuda en este caso. El contexto lo aclaraba y, de hecho, aunque esto parezca muy poco satisfactorio no podr�a haber sido considerado as� por los Babilonios. �C�mo lo sabemos? Bien, si realmente les pareciese que el sistema presentaba ambig�edades habr�an resuelto el problema: no cabe duda de que pose�an las habilidades necesarias para encontrar una soluci�n si el sistema hubiera sido impracticable. Quiz� deber�amos mencionar que los Babilonios tard�os inventaron un s�mbolo para indicar una posici�n vac�a, as� que es posible que la carencia de un cero no fuese totalmente satisfactoria para ellos.

    Asimismo, una posici�n vac�a en el interior de un n�mero daba problemas. Aunque no es un comentario muy serio, quiz� merezca la pena hacer notar que si suponemos que todos los d�gitos tienen la misma probabilidad de aparecer en un n�mero, en nuestro sistema digital hay una probabilidad entre diez de tener una posici�n vac�a, mientras que para los Babilonios con su sistema sexagesimal esta probabilidad era de una entre sesenta. Volviendo a las posiciones vac�as en el interior de un n�mero, podemos examinar ejemplos reales en los que ocurre esto.

    Este es un ejemplo de una tableta cuneiforme (concretamente AO 17264 en la colecci�n del Louvre, Par�s) en el cual se realizan los c�lculos para elevar 147 al cuadrado. En sexagesimal 147 = 2,27, y al cuadrado da 21 609 = 6,0,9.

    Este el ejemplo babil�nico de 2,27 al cuadrado
     

     


    Quiz� el escriba dej� un poco m�s de espacio entre el 6 y el 9 que si estuviera representando 6,9.

    Y si la posici�n vac�a resultaba problem�tica con los enteros, era a�n peor con las fracciones babil�nicas. Los babilonios usaban un sistema de fracciones sexagesimales similar a nuestras fracciones decimales. Por ejemplo, si escribimos 0,125 entonces tenemos 1/10 + 2/100 + 5/1000 = 1/8. Por supuesto, una fracci�n de la forma a/b, en su forma reducida, puede representarse como una fracci�n decimal finita si, y solo si, b no tiene divisores primos distintos de 2 y 5. As�, 1/3 no tiene fracci�n decimal finita. An�logamente, la fracci�n sexagesimal babil�nica 0;7,30 representaba 7/60 + 30/3600, que en nuestra notaci�n resulta tambi�n 1/8.

    Puesto que 60 es divisible por los factores primos 2, 3 y 5, una fracci�n de la forma a/b, en su forma reducida, puede representarse como una fracci�n decimal finita si, y solo si, b no tiene divisores primos distintos de 2, 3 y 5. Por lo tanto hay m�s fracciones que pueden representarse como fracciones sexagesimales finitas que como fracciones decimales finitas. Algunos historiadores creen que esta observaci�n influy� en que los Babilonios desarrollasen el sistema sexagesimal, en lugar del decimal, pero esto no parece probable. Si tal fuera el caso, �por qu� no usar base 30? M�s adelante discutiremos este problema con m�s detalle.

    Hemos sugerido ya la notaci�n que utilizaremos para denotar un n�mero sexagesimal con parte fraccionaria. Como ejemplo, 10,12,5;1,52,30 representa
     
    10 � 602 + 12 � 60 + 5 + 1/60 + 52/602 + 30/603

    que en nuestra notaci�n es 36725 1/32. Esto est� bien, pero hemos introducido la notaci�n del punto y coma para indicar d�nde termina la parte entera y comienza la parte decimal. Es la 'coma sexagesimal', y desempe�a un papel equivalente a la coma decimal. Sin embargo, los Babilonios no ten�an ninguna notaci�n para indicar d�nde terminaba la parte entera y empezaba la parte fraccionaria. Por tanto, hab�a mucha ambig�edad y la filosof�a de 'el contexto lo aclara' empieza a parecer muy precaria. Si escribo 10,12,5,1,52,30 sin notaci�n para la 'coma sexagesimal' podr�a referirse a cualquiera de los siguientes n�meros:
     
    0;10,12, 5, 1,52,30
    10;12, 5, 1,52,30
    10,12; 5, 1,52,30
    10,12, 5; 1,52,30
    10,12, 5, 1;52,30
    10,12, 5, 1,52;30
    10,12, 5, 1,52,30

    adem�s de, por supuesto, 10, 12, 5, 1, 52, 30, 0 � 0 ; 0, 10, 12, 5, 1, 52, 30 etc.

    Finalmente deber�amos considerar la cuesti�n de por qu� los Babilonios usaban un sistema num�rico de base 60. La respuesta sencilla es que heredaron la base 60 de los Sumerios, pero eso no sirve de nada. S�lo nos lleva a preguntar por qu� los Sumerios usaban base 60. El primer comentario ser�a que no tenemos que seguir retrocediendo, ya que podemos estar bastante seguros de que el sistema sexagesimal se inici� con los Sumerios. El segundo punto es que los matem�ticos modernos no han sido los primeros en hacer esta pregunta. Theon de Alejandr�a intent� responder esta pregunta en el siglo IV a. de C. y muchos historiadores de las matem�ticas han propuesto sus opiniones desde entonces, sin que nadie haya llegado a dar una respuesta realmente convincente.

    La respuesta de Theon era que 60 es el menor n�mero divisible por 1, 2, 3, 4 y 5 de modo que se maximizaba el n�mero de divisores. Aunque esto es cierto, parece una raz�n demasiado acad�mica. Base 12 ser�a una candidata m�s probable si esta fuese la raz�n, pero ninguna civilizaci�n importante parece haber utilizado esta base. Por otro lado, muchas unidades de medida involucran el n�mero 12; por ejemplo, se da frecuentemente en subdivisiones de pesos, monedas y longitudes. Por ejemplo, en las antiguas medidas brit�nicas hab�a doce pulgadas en un pie, doce peniques en un chel�n, etc.

    Neugebauer propuso una teor�a basada en los pesos y medidas que usaban los Sumerios. Su idea es, b�sicamente, que un sistema decimal se modific� a base 60 para permitir dividir los pesos y medidas en tercios. Sabemos con certeza que el sistema de pesos y medidas de los Sumerios usaba 1/3 y 2/3 como fracciones b�sicas. Sin embargo, aunque puede que Neugebauer tenga raz�n, el contra argumento ser�a que el sistema de pesos y medidas era consecuencia del sistema num�rico, en lugar de al contrario.

    Algunas teor�as se han basado en eventos astron�micos. La sugerencia de que 60 es el producto del n�mero de meses en el a�o (lunas por a�o) por el n�mero de planetas (Mercurio, Venus, Marte, J�piter, Saturno) tambi�n parece demasiado precario como justificaci�n de la base 60. El historiador de las matem�ticas Moritz Cantor sugiri� que una posible raz�n para usar base 60 era que se pensaba que el a�o ten�a 360 d�as. Una vez m�s, esta idea no resulta convincente, ya que los Sumerios sab�an con certeza que el a�o dura m�s de 360 d�as. Otra hip�tesis se refiere a que el Sol recorre 720 veces su di�metro en un d�a, y como el d�a sumerio ten�a 12 horas, se llega f�cilmente al 60.

    Algunas teor�as se basan en la geometr�a. Por ejemplo, una teor�a es que el tri�ngulo equil�tero era considerado por los Sumerios el bloque constructivo geom�trico fundamental. Los �ngulos de un tri�ngulo equil�tero son de 60�, as� que divididos en 10 partes la unidad angular b�sica ser�a de 6�. Ahora bien, hay 60 de estas unidades b�sicas en una circunferencia, de modo que tenemos la raz�n propuesta para elegir 60 como base. Pero este argumento pr�cticamente se contradice a s� mismo, ya que �presupone que la unidad b�sica de divisi�n es 10!

    Yo [EFR] opino que todas estas razones no merecen consideraci�n seria. Quiz�s haya trucado un poco mi razonamiento, pero la frase que he utilizado 'elegir 60 como base' es muy significativa. Simplemente, no creo que ninguna civilizaci�n haya elegido nunca un n�mero como base. �Puede imaginarse a los Sumerios formando un comit� para decidir qu� n�mero usar como base? No, las cosas no ocurrieron as�. La raz�n tiene que estar relacionada con la manera en la que se empez� a contar en la civilizaci�n sumeria, al igual que 10 fue la base en otras civilizaciones que empezaron a contar con los dedos de las manos, y veinte fue la base para los que contaban los dedos de pies y manos.

    He aqu� una manera en la que esto podr�a haber sucedido: se puede contar hasta 60 usando las dos manos. En la mano izquierda cada dedo tiene tres partes (excluyendo el pulgar). Las partes est�n separadas por las articulaciones de los dedos. Se puede contar hasta 60 apuntando a cada una de las 12 partes de los dedos de la mano izquierda (sin contar el pulgar) con cada uno de los 5 dedos de la mano derecha. De este modo se cuenta con los dedos hasta 60 en lugar de hasta 10. �Convincente?

    Una variante de esta proposici�n ha sido propuesta. La teor�a aparentemente m�s aceptada propone que la civilizaci�n sumeria debe de haber resultado de la uni�n de dos pueblos, uno de los cuales contaban en base 12 y el otro en base 5. Aunque 5 no es ni de lejos tan com�n como 10 como base entre pueblos antiguos, no es infrecuente y es utilizada por gentes que cuentan con los dedos de una mano. Esta teor�a supone que despu�s de la uni�n de los dos pueblos, al usarse los dos sistemas al comerciar entre s�, el sistema de base 60 surgir�a de forma natural como el sistema entendido por todos.

    Tambi�n he o�do esta teor�a propuesta con los dos pueblos que se mezclan que usaban bases 10 y 6. Esta versi�n tiene la ventaja de que hay una unidad natural para 10 en el sistema babil�nico, y se podr�a decir que es una reminiscencia del sistema decimal anterior. Una de las ventajas de estas teor�as es que es posible que se hallen pruebas documentales de los dos sistemas que se entremezclaron, lo que probar�a las conjeturas. No hay que pensar en la historia como un tema muerto. Al contrario, nuestros puntos de vista cambian continuamente a medida que las �ltimas investigaciones aportan nuevas pruebas e interpretaciones.

    Art�culo de: J J O'Connor y E F Robertson
    MacTutor History of Mathematics Archive
     
      Bibliograf�a
       
        Libros
      1. A Aaboe, Episodes from the Early History of Mathematics (1964).
         
      2. R Calinger, A conceptual history of mathematics (Upper Straddle River, N. J., 1999).
         
      3. G Ifrah, A universal history of numbers : From prehistory to the invention of the computer (London, 1998).
         
      4. G G Joseph, The crest of the peacock (London, 1991).
         
      5. O Neugebauer and A Sachs, Mathematical Cuneiform Texts (New Haven, CT., 1945).
         
      6. B L van der Waerden, Science Awakening (Groningen, 1954).
         
      7. B L van der Waerden, Geometry and Algebra in Ancient Civilizations (New York, 1983).
        Art�culos:
         
      8. J Hoyrup, Babylonian mathematics, in I Grattan-Guinness (ed.), Companion Encyclopedia of the History and Philosophy of the Mathematical Sciences (London, 1994), 21-29.
         
      9. J Friberg, Methods and traditions of Babylonian mathematics. Plimpton 322, Pythagorean triples, and the Babylonian triangle parameter equations, Historia Mathematica 8 (1981), 277-318.